实变函数题库集答案(5)

的单调增函数，即?x1,x2?E,x1?x2,f?x1??f?x2?， 则???R，有

1） 当supf?x???时，E??xx?E1f(x)??????;

2） 当inff?x???时，E??xx?Ef(x)?????E;

3） 当inff?x????supf?x?时，必有x0?E?R1，使

x?Ex?Ef?x0?0???,f?x0???或f?x0?0???,f?x0?0???.

由f?x?的单调增知，E??x在所有情况下，E??xf(x)?????E??x0,???或E??x0,???.

f(x)????都可测.

即f?x?是?a,b?上的可测函数.

由由a,b的任意性可知，f?x?是R上的可测函数.

1n28. 设f?x?为可测集E?R上的可测函数，则f?x??L?E?的充要条件f?x??L?E?.

证明 必要性 若f?x??L?E?，

??因为f?x??f?x??f?x?，且f?x??L?E?

所以故

?Ef??x?dx,?f??x?dx中至少有一个是有限值，

E??EE?f?x?dx??f?x?dx??f?x?dx

E即f?x??L?E?

充分性 若f?x??L?E? 因为f?x??f所以故

??x??f??x?，且f?x??L?E?

E?Ef??x?dx,?f??x?dx中至少有一个是有限值，

EE?Ef?x?dx??f??x?dx??f??x?dx，

即f?x??L?E?.

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