实变函数题库集答案(4)

集性质知E[x|f(x)?g(x)]是可测集

4．设f(x)是E上的可测函数，则对任何常数a?0，有mE[x|f(x)|?a]?1|f(x)|dx a?E证明 因为f(x)在E上可测，所以|f(x)|在E上非负可测，由非负可测函数积分性质，

? 而

E[x|f(x)|?a]adx??E[x|f(x)|?a]|f(x)|dx??|f(x)|dx

E?E[x|f(x)|?a]adx?a?mE[x|f(x)|?a]，所以

1|f(x)|dx a?En?? mE[x|f(x)|?a]?5．设f(x)是E上的L?可积函数，{En}是E的一列可测子集，且limmEn?0，则

lim?f(x)dx?0

n??En证明 因为limmEn?0，所以???0,?N?1，当n?N时，mEn??，又f(x)在E上L?可积，所以由积分的绝

n??对连续性，???0,???0,当e?E,me??时|于是当n?N时，mEn??，因此|6．证明集合等式：A\\(A\\B)?A?B 证明 A\\(A\\B?)?ef(x)dx|??

n??En?Enf(x)dx|??，即lim?f(x)dx?0

A?(A?cBc)??A(cA?(cBc)?)?Ac(A? B ?(A?A)?(A?B)?A?B

7．设A1,A2是[0,1]的可测子集，且mA1?mA2?1，则m(A1?A2)?0

证明 因为A1?[0,1],A2?[0,1]，所以A1?A2?[0,1]，于是m(A1?A2)?m[0,1]?1

另一方面，A1?A2?[A1\\(A1?A2)]?A2，所以

cm(A1?A2)?m?[A1\\(A1?A2)]?A2??m[A1\\(A1?A2)]?mA2?mA1?m(A1?A2)?mA2m(1 于是

?A?2)A?1m?A?2(n mA)?m0AA8．设f(x)是定义在可测集E?R上的实函数，En为E的可测子集（n?1,2,?），且E?可测的充要条件是f(x)在每个En上可测 证明 对任何实数a，因为 E[x|f(x)?a]??En?1?n，则f(x)在E上

?E[x|f(x)?a]??(Enn?1n?1??n?E[x|f(x)?a])

所以f(x)在E上可测的充要条件是对每个n?1,2,?，f(x)在每个En上可测

?a9．设f(x)是E上的可测函数，则对任何常数a?0，有mE[x|f(x)?a]?e?Eef(x)dx

f(x)证明 因为f(x)在E上可测，所以e是非负可测函数，于是由非负可测函数积分性质，

?E[x|f(x)?a]eadx??E[x|f(x)?a]ef(x)dx??ef(x)dx

E而

?E[x|f(x)?a]eadx?ea?mE[x|f(x)?a]，

?a所以 mE[x|f(x)?a]?e?Eef(x)dx

n??10．设f(x)是E上的可积函数，{En}为E的一列可测子集，mE???，如果limmEn?mE 则limn??En?f(x)dx??f(x)dx

E证明 因f(x)在E上L?可积，由积分的绝对连续性知，对任意??0，存在??0，对任何A?E，当mA??时有|?Af(x)dx|??，由于limmEn?mE???，故对上述的??0，存在k0，当n?k0时En?E，且有

n??mE?mEn?m(E?En)??，于是

|?Ef(x)dx??f(x)dx|?|?EnE?Enf(x)dx|??，

即 limn??En?f(x)dx??f(x)dx

E11．证明集合等式：(A?B)\\C?(A\\C)?(B\\C) 证明 (A?B)\\C?(A?B)?C?c(A?cC)?(B?cC?)(A\\C?)( BCn12．设E?R是零测集，则E的任何子集F是可测集，且mF?0

**证明 设F?E，mE?0，由外测度的单调性和非负性，0?mF?mE?0，所以

mF?0，于是由卡氏条件易知F是可测集

13．设fn(x),gnx()f,x(g)x,是(E上几乎处处有限的可测函数，且fn(x)?f(x)，gn(x)?g(x)，则

*fn(x)?gn(x?)fx(?)gx( ).证明 对任何正数??0，由于

|(fn(x)?gn(x))?(f(x)?g(x))|?|fn(x)?f(x)|?|gn(x)?g(x)| 所以E[x|(fn(x)?gn(x))?(f(x)?g(x))|??] ?E[x|fn(x)?f(x)|??2]?E[x|gn(x)?g(x)|??2]

于是mE[x|(fn(x)?gn(x))?(f(x)?g(x))|??] ?mE[x|fn(x)?f(x)|??2]?mE[x|gn(x)?g(x)|??2]?0(n??)

故fn(x)?gn(x)?f(x)?g(x) 14．设f(x),g(x)是E上L?可积函数，则f2(x)?g2(x)在E上也是L?可积的

证明 因f(x),g(x)是E上L?可积，所以|f(x)|,|g(x)|在E上L?可积，从而 |f(x)|?|g(x)|L?可积，

又故f2(x)?g2(x)?(|f(x)|?|g(x)|)2?|f(x)|?|g(x)| f2(x)?g2(x)在E上L?可积

15．设f(x)是可测集E上的非负可测函数，如果

?Ef(x)dx?0，则f(x)?0a.e于E

证明 反证，令A?E[x|f(x)?0]，则由f(x)的可测性知，A是可测集.下证mA?0，若不然，则mA?0

由于A?E[x|f(x)?0]?1E[x|f(x)?]，所以存在N?1，使 ?nn?11]?d?0 N1E[x|f(x)?]N?mE[x|f(x)? 于是

?Ef(x)dx??1E[x|f(x)?]Nf(x)dx??111ddx?mE[x|f(x)?]??0 NNNN因此

?Ef(x)dx?0，矛盾，故f(x)?0a.e于E

16．证明等式：A\\(B?C)?(A\\B)?(A\\C) 证明 A\\(B?C)?ncA?(B?C)?A?(cB?cC?)(?AcB)?(?Ac?C)(A\\?B) (AC*17．设E?R是有界集，则mE???

.证明 因为E是有界集，所以存在开区间I，使E?I

** 由外测度的单调性，mE?mI，而m*I?|I|???（其中|I|表示区间I的体积），所以

m*E???

18．R上的实值连续函数f(x)是可测函数

证明 因为f(x)连续，所以对任何实数a，{x|f(x)?a}是开集，而开集为可测集，因此f(x)是可测函数 19．设mE???，函数f(x)在E上有界可测，则f(x)在E上L?可积，从而[a,b]上的连续函数是L?可积的 证明 因为f(x)在E上有界可测，所以存在M?0，使|f(x)|?M，x?E，|f(x)|是非负可测函数，由非负可测函数的积分单调性，

1?|f(x)|dx??EEMdx?M?mE???

故|f(x)|在E上L?可积，从而f(x)在E上L?可积 因为[a,b]上的连续函数是有界可测函数，所以L?可积的 20．设fn(x)（n?1,2,?）是E上的L?可积函数，如果lim证明 对任何常数??0，??mE[x|fn(x)|??]?所以 mE[x|fn(x)|??]? ?因此 fn(x)?0

21. 证明集合等式 ：?A?B?\\C??A\\C???B\\C?.

ccc证明 ?A?B?\\C??A?B??C?A?C?B?C??A\\C???B\\C?

n??En?|fn(x)|dx?0，则fn(x)?0

?E[x|fn(x)|??]|fn(x)|dx

1?1?E[x|fn(x)|??]|fn(x)|dx

|f??En(x)|dx?0(n??)

????22. 设E0???0,1?中的有理点?，则E0为可测集且mE0?0.

证明 因为E0为可数集，记为E0??r?， 1,r2,?rn,????????0，取In??rn?n?1,rn?n?1??n?1,2,??

22??显然 E0??In，所以E0??In0?mE0?n?1?????n?1?In??n?1?????nn?12??，

让??0，得m?E0?0.

?T?Rn，由于T??T?E0???T?E0c?

???c所以mT?m?T?E0??mT?E0.

????c??c又T?E0c?T,m?E0?0，所以mT?mT?E0?m?T?E0??mT?E0. ???c故mT?m?T?E0??mT?E0

??????故E0为可测集，且mE0?0

23. 证明：R上的实值连续函数f?x?必为R上的可测函数

111证明 ?a,b?R，不妨假设a?b，因为f?x?是R上的连续函数，故f?x?是?a,b?上的连续函数，记F??a,b?，

1由f?x?在F上连续，则?M,m?m?M?，使m?f?x??M，则显然易证，???R1,F?f???是闭集，即f?x?为?a,b?上的可测函数，

由a,b的任意性可知，f?x?是R上的可测函数.

1im24. 设f?x??L?E?，?En?为E的一列可测子集，mE??? ，如果limmEn?mE，则ln??n??En?f?x?dx??f?x?dx.

E证明 因f(x)在E上L可积，由积分的绝对连续性知，对任意??0，存在??0，对任何A?E，当mA??时有

mE|?f(x)dx|??，由于lim???，故对上述的??0，存在k0，当n?k0时En?E，且有n?mEAn??mE?mEn?m(E?En)??，于是

|?f(x)dx??f(x)dx|?|?EEnn??EnEE\\Enf(x)dx|??，即

lim?f(x)dx??f(x)dx

25. 证明集合等式 ：A\\?B?C???A\\B???A\\C?. 证明

A\\?B?C??A??B?C??A??Bc?Cc?c??A?B???A?Cc1c???A\\B???A\\C?

26. 设E?R，且mE?0，则E为可测集.

ncn证明 ?T?R，由于?T?RT??T?E??T?E ???c所以mT?m?T?E??mT?E.

??c??cc?又T?E?T,mE?0，所以mT?mT?E?m?T?E??mT?E. ???c故mT?m?T?E??mT?E

???????????所以E为可测集

27. 证明：R上的单调函数f?x?必为可测函数.

1证明 ?a,b?R，不妨假设a?b，因为f?x?是R上的单调函数，不妨设f?x?为单调增函数，故f?x?是?a,b?上

11的单调增函数，即?x1,x2?E,x1?x2,f?x1??f?x2?， 则???R，有

1） 当supf?x???时，E??xx?E1f(x)??????;

2） 当inff?x???时，E??xx?Ef(x)?????E;

3） 当inff?x????supf?x?时，必有x0?E?R1，使

x?Ex?Ef?x0?0???,f?x0???或f?x0?0???,f?x0?0???.

由f?x?的单调增知，E??x在所有情况下，E??xf(x)?????E??x0,???或E??x0,???.

f(x)????都可测.

即f?x?是?a,b?上的可测函数.

由由a,b的任意性可知，f?x?是R上的可测函数.

1n28. 设f?x?为可测集E?R上的可测函数，则f?x??L?E?的充要条件f?x??L?E?.

证明 必要性 若f?x??L?E?，

??因为f?x??f?x??f?x?，且f?x??L?E?

所以故

?Ef??x?dx,?f??x?dx中至少有一个是有限值，

E??EE?f?x?dx??f?x?dx??f?x?dx

E即f?x??L?E?

充分性 若f?x??L?E? 因为f?x??f所以故

??x??f??x?，且f?x??L?E?

E?Ef??x?dx,?f??x?dx中至少有一个是有限值，

EE?Ef?x?dx??f??x?dx??f??x?dx，

即f?x??L?E?.

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库实变函数题库集答案(4)在线全文阅读。