2019届广东省六校高三第三次联考理科数学（解析版）

A. 3

B. 2 C. D.

广东省六校2018-2019学年高三（下）第三次联考数学试卷（理科）（2月份）

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 设集合A={x|y=lg（1-x）}，B={y|y=2x

}，则A∩B=（ ）

A.

B. C. D.

2. 若复数z=2i+

，其中i是虚数单位，则复数z的模为（ ）

A.

B. C.

D. 2

3. 等差数列{aa

n}中，若a4+6+a8+a10+a12=120，则a9- 的值是（ ）

A. 14

B. 15

C. 16 D. 17

4. 已知函数y=sin（ωx+

）向右平移 个单位后，所得的图象与原函数图象关于x轴对称，则ω的最小正值为（A. 1

B. 2

C.

D. 3

5. 在

2

的展开式中，x的系数是224，则 的系数是（ ）

A. 14

B. 28 C. 56 D. 112

6. 函数f（x）=ex

?ln|x|的大致图象为（ ）

A.

B.

C.

D.

7. 已知x，y满足约束条件 ，若z=ax+y的最大值为4，则a=（ ）

1

8. 如图是某几何体的三视图，其俯视图是斜边长为2的等腰直角三角形，则该几

何体的外接球的表面积为（ ）

A. B. C. D.

9. 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x

的不足近似值和过剩近似值分别为

*

和 （a，b，c，d∈N），则 是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我

们知道π=3.14159…，若令

＜π＜ ，则第一次用“调日法”后得 是π的更为精确的过剩近似值，即 ＜π＜ ，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为（ ）

A.

B.

C. D.

10. 设F为抛物线y2

=2px的焦点，斜率为k（k＞0）的直线过F交抛物线于A、B两点，若|FA|=3|FB|，则直线AB的

斜率为（ ）

A.

B. 1 C. D.

11. 已知f（x）=loga（a-x

+1）+bx（a＞0，a≠1）是偶函数，则（ ）

A.

且 B. 且 C.

且

D.

且

12. 已知函数f（x）=|xex+1|，关于x的方程f2

（x）+2sinα?f（x）+cosα=0有四个不等实根，sinα-cosα≥λ恒成立，则实

数λ的最大值为（ ）

A.

B.

C. D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知sinθ+cosθ= ，则tan

=______．

）14. 已知向量 =（1， ）， =（3，m），且 在 上的投影为3，则向量 与 夹角为______． 15. 我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，

构成种类繁多的图案．如图所示的窗棂图案，是将半径为R的圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形．现在向该圆形区域内的随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在黑色部分（忽略图中的白线）的概率是______．

16. 数列b

n=ancos 的前n项和为Sn，已知S2017=5710，S2018=4030，若数列{an}为等差数列，则S2019=______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17. △ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinAsinB+bcos2

A=

a．

（I）求

；

（Ⅱ）若c2=a2

+

，求角C．

18. 如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E，F分别是

PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l． （Ⅰ）求证：直线l⊥平面PAC；

（Ⅱ）直线l上是否存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若

2

不存在，请说明理由．

19. 某学校为鼓励家校互动，与某手机通讯商合作，为教师伴侣流量套餐，为了解该校教师手机流量使用情况，通过

抽样，得到100位教师近2年每人手机月平均使用流量L（单位：M）的数据，其频率分布直方图如下：若将每位教师的手机月平均使用流量分布视为其手机月使用流量，并将频率为概率，回答以下问题． （1）从该校教师中随机抽取3人，求这3人中至多有1人月使用流量不超过300M的概率； （2）现该通讯商推出三款流量套餐，详情如下： 套餐名称 月套餐费（单位：元） 月套餐流量（单位：M） A 20 300 B 30 500 C 38 700 这三款套餐都有如下附加条款：套餐费月初一次性收取，手机使用一旦超出套餐流量，系统就自动帮用户充值200M流量，资费20元；如果又超出充值流量，系统就再次自动帮用户充值200M流量，资费20元/次，依此类推，如果当流量有剩余，系统将自动清零，无法转入次月使用．

学校欲订购其中一款流量套餐，为教师支付月套餐费，并承担系统自动充值的流量资费的75%，其余部分由教师个人承担，问学校订购哪一款套餐最经济？说明理由．

20. 如图，设点A，B的坐标分别为（- ，0），（ ，0），直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为-

．

（1）求P的轨迹方程；

（2）设点P的轨迹为C，点M、N是轨迹为C上不同于A，B的两点，且满足AP∥OM，BP∥ON，求证：△MON

的面积为定值．

21. 已知函数f（x）=（1+x）e-2x

，g（x）=ax+

+1+2xcosx，当x∈[0，1]时，

（Ⅰ）若函数g（x）在x=0处的切线与x轴平行，求实数a的值； （Ⅱ）求证：1-x≤f（x）≤

；

（Ⅲ）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

22. 在直角坐标系xOy中，曲线C

1的参数方程为 （

φ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ （Ⅰ）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知曲线C3的极坐标方程为θ=α，0＜α＜π，ρ∈R，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|=4 ，求实数α的值．

3

23. 已知函数f（x）=2|x+a|+|x-

|（a≠0）．

（1）当a=1时，解不等式f（x）＜4； （2）求函数g（x）=f（x）+f（-x）的最小值．

答案和解析

1.【答案】C

【解析】

解：∵1-x＞0，∴x＜1，∴A=（-∞，1）， ∵2x

＞0，∴B=（0，+∞）， ∴A∩B=（0，1）． 故选：C．

求对数函数的定义域，求指数函数的值域，确定集合A、B，然后根据交集定义求结果． 本题考查了交集及其运算，考查了对数函数的定义域，指数函数的值域，是基础题． 2.【答案】B

【解析】

解：∵复数z=2i+=2i+=2i+1-i=1+i，

∴|z|==

，

故选：B．

利用了两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，求得复数z，再根据复数的模的定义求得复数z的模．

本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质，求复数的模，属于基础题．

3.【答案】C

【解析】

解：依题意，由a4+a6+a8+a10+a12=120，得a8=24， 所以a9-=（3a9-a11）=（a9+a7+a11-a11）=（a9+a7）=

=16

故选：C．

先由等差数列的性质a4+a6+a8+a10+a12=120得a8，再用性质求解． 本题主要考查等差数列的性质． 4.【答案】D

【解析】

4

解：函数y=sin（ωx+）向右平移

个单位后得到 y=sin[ω（x-）+

]=sin（ωx-

ω+

）的图象，

∵所得的图象与原函数图象关于x轴对称， ∴sin（ωx-ω+）=-sin（ωx+

）=sin（ωx++π），

∴-ω+

=

+π+2kπ，k∈Z，解得ω=-6k-3，

∴当k=-1时，ω取最小正数3， 故选：D．

由三角函数图象变换可得后来函数的解析式，由诱导公式比较可得ω的方程，解方程给k取值可得． 本题考查三角函数的图象和性质，涉及图象变换，属基础题． 5.【答案】A

【解析】

解：因为在的展开式中，，

令2n-2r=2，r=n-1，

则22C2nn-1=224，∴C2nn-1=56．∴n=4． 再令8-2r=-2，∴r=5．，则为第6项．

∴

．

则

的系数是14．

故选：A．

首先分析题目已知在

的展开式中，x2

的系数是224，求

的系数，首先求出在的展

开式中的通项，然后根据x2

的系数是224，求出次数n的值，再根据通项求出为第几项，代入通项求出

系数即可得到答案．

此题主要考查二项式系数的性质问题，其中涉及到二项式展开式中通项的求法，及用通项公式求一系列的问题．有一定的技巧性，属于中档题目．同学们需要很好的掌握． 6.【答案】A

【解析】

解：函数f（x）为非奇非偶函数，图象不关于y轴对称，排除C，D， 当x→+∞，f（x）→+∞，排除B， 故选：A．

判断函数的奇偶性和对称性的关系，利用极限思想进行求解即可．

本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及极限思想是解决本题的关键． 7.【答案】B

【解析】

解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 则A（2，0），B（1，1），

若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2， 此时，目标函数为z=2x+y， 即y=-2x+z，

平移直线y=-2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，

若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3， 此时，目标函数为z=3x+y， 即y=-3x+z，

平移直线y=-3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件， 故a=2， 故选：B．

作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．

本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的

基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．

8.【答案】C

【解析】

5

解：由三视图知该几何体是4个面均为直角三角形的三棱锥，故球心在最长棱的中点上，故外接球半径为

．所以表面积为8π．

故选：C．

由三视图知该几何体是4个面均为直角三角形的三棱锥，故外接球半径为．

本题考查三视图和空间想象和空间计算能力，属于简单题． 9.【答案】A

【解析】

解：第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜

，

第二次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜； 第三次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜， 第四次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即

＜π＜

，

故选：A．

利用“调日法”进行计算，即可得出结论．

本题考查“调日法”，考查学生的计算能力，比较基础． 10.【答案】D

【解析】

解：假设A在第一象限，

过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D，E，

过A作EB的垂线，垂足为C，则四边形ADEC为矩形． 由抛物线定义可知|AD|=|AF|，|BE|=|BF|，

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