王进明初等数论习题详细解答2013.5第九版(可打印版)(6)

x?3?5356282?53???????11?42（mod 53）

19?53?3417?53511?1原同余方程的解有两个：x≡42（mod 106），x≡95（mod 106） （5）11x≡6（mod 13）.x???1??6?12?11?10???4?3?6?6?10（mod 13）

11!（6）3x≡5－29=－24（mod 29）, ∴ x≡－8=21（mod 29）； （7）5x≡6+24=30（mod 24）, ∴ x≡6（mod 24） （8）66x≡14（mod 74）；先解33x≡7（mod 37）；

x???1?33?1?7?36?35?34???6?536?35?34?7??7???6??17≡26（mod 37）

33!4?3?2原同余方程的解有两个：x≡26（mod 74）, x≡63（mod 74）。 下面是广西师大本中要求按指定方法求解的题目，可自行练习：

4.化为不定方程解下列同余方程（王进明本第四章讲不定方程，此题建议用同余变形法）： （1）20x≡4（mod 30）；（2）57x≡87（mod 105）； （3）4x≡11（mod 15）； 5.利用欧拉定理解下列同余方程：

（1）6x≡22（mod 36）； （2）3x≡10（mod 29）； （3）258x≡131（mod 348）； （4）11x≡7（mod 13）； （5）3x≡2（mod 17）； （6）243x≡102（mod 551）. 6.用求组合数的方法解下列同余方程：

（1）5x≡13（mod 43）； （2）9x≡4（mod 2401）； 王进明本习题３.２(P169) 赵继源本习题4-3(P154)

解略

2. a取什么值时，下面的同余方程组有解？

?x?5(mod18),?x?5(mod18),解：因为(18, 21)=3, 3|8－5，所以?有解；(18, 35)=1, 所以?x?8(mod21).??x?a(mod35).总是有解。因此，要使题设的同余方程组有解，只需??x?a(mod35),有解。

?x?8(mod21).而这里，(21, 35)=7，由定理可知，只需a≡8≡1(mod 7). 即x = 1+7t ( t为整数 )，题设的同余方程组总有解。

26

3.解下列同余方程组：(1) ??x?3(mod7),, (2)

?x?5(mod11).?x?6(mod13), ??x?7(mod24).?2x?4(mod8), ??15x?5(mod35).(4) ??5x?7(mod11), (5)

?6x?9?0(mod19).解：(1)方法一：设x=5+11y, 代入第一个同余方程，得11y≡3－5 (mod 7)， 得y≡3 (mod 7) 所以同余方程组的解是x≡38 (mod 77)。 方法二：用孙子定理解，M=77，M1=11，M2= 7， 令11 M1′≡1(mod 7)， 得M1′≡2(mod 7)， 7 M2′≡1(mod 11)，得M2′≡－3(mod 11)，

所以同余方程组的解是x≡11×2×3 + 7×(－3)×5≡－39≡38 (mod 77). (2) 方法一：设x=7+24y, 代入第一个同余方程，得24y≡6－7 (mod 13)， 得y≡7 (mod 13) 所以同余方程组的解是x≡7+24×7≡175 (mod 312)。 方法二：用孙子定理解，M=312，M1=24，M2= 13， 令24 M1′≡1(mod 13)， 得M1′≡6≡－7 (mod 13)， 13 M2′≡1(mod 24)，得M2′≡13(mod 24)，

所以同余方程组的解是x≡24×(－7)×6 + 13×13×7≡－1008+1183≡175 (mod 312). ４. 求解下列各题（我国古代数学家杨辉 1275 年所写《续古摘奇算法》中的三个例题）： （1）七数剩一，八数剩一，九数剩三，问本数；

（2）十一数余三，十二数余二，十三数余一，问本数； （王进明攺了几个数） （3）二数余一，五数余二，七数余三，九数余四，问本数.

??x ? 1 解：（1）???x ?3?mod 56?,方法一：设x=1+56y, 代入第二个同余方程，得

?mod 9?.56y ≡ 3－1 (mod 13)，（56－54）y ≡ 2 (mod 13)

得y ≡ 1 (mod 13) y，所以，同余方程组的解是x≡57 (mod 504)。 方法二：用孙子定理解。

?x ? 3 ?（2）?x ? 2 ??x ?1 ?,?mod11 ?, ?mod12 ?.?mod13用孙子定理解，M=1716，M1=156，M2=143，M3=132，

令156 M1′≡1(mod 11)， 得2M1′≡12(mod 11)，M1′≡6(mod 11)；

143 M2′≡1(mod 12)， 得－M2′≡1(mod 12)，M2′≡－1(mod 12)； 132 M3′≡1(mod 13)， 得2M2′≡－12(mod 13)，M2′≡－6(mod 13)

所以同余方程组的解是x≡156×6×3 + 143× (－1)×2 +132×(－6)×1 ≡ 14(mod 17). 法二：观察法。或累加试除法。

5. 求相邻的四个整数，它们2,3,5,7 依次可被整除。

2222?4x ? 1 ?0?mod 32?,?4x ??1?mod 32?,?x ?2?mod 9?,?????22解：由题意得?4x ?2? 0 ?mod 5?,即?4x? ?2 ?mod 5?,即?x? ?13 ?mod 25?,

???224x?3 ?0mod 7.4x ??3mod 7.??????x ??13?mod 49?.??? 27

??x ?2?mod 9?,用孙子定理解，M=11025，M1=1225，M2=9， ???x? ?13 ?mod 25?49?.令1225M1′≡1(mod 9)， 得M1′＝1； 9M2′≡1(mod 1225)， 1225＝9×136+1，∴ 9×(－136)+1225＝1，即M2′＝－136 所以x≡1225×1×2 + 9× (－136)×(－13) ＝18362 ≡ 7337 (mod 11025). 所求的四个连续整数为29348，29349，29350，29351.

6. 求模11的一个完全剩余系，使其中每个数被2，3，5，7除后的余数分别为1，－1，1，－1。

?x ?1?mod 2?,? ?,??x ??1?mod 3?,?x ?1?mod10解：先求x, 满足:?等价于?

??x? 1 ?mod 5?,?x ??1?mod 21?.?x ??1mod 7.??? 41?mo d?210,???x ?41?mod 210?,?x?可解得x ?41?mod 210?.再依次解? ?

?. d?11.???x?0?mod11?x?1?mo??x ?41?mod 210?,??（略） ?x?2mod11 .????以下为赵本的第4题：

5．.解下列同余方程组： （1） x≡8（mod 15）， （2） x≡6（mod 11），

x≡3（mod 10）， x≡3（mod 8）， x≡1（mod 8）； x≡11（mod 20）； （3） x≡2（mod 35）， （4） 4x≡90（mod 105），

x≡9（mod 14）， 5x≡18（mod 63）， x≡7（mod 20）； 7x≡10（mod 50），

3x≡12（mod 22）

?x ? 2 ?解：（1）化为?x ? 3 ??x ?1?mod 3?,?mod 5?,用孙子定理解，M=120，M1=40，M2=24，M3=15， ?mod 8?.令40 M1′≡1(mod 3)， 得M1′≡1 (mod 3)；

24 M2′≡1(mod 5)， 得－M2′≡1(mod 5)，M2′≡－1(mod 5)； 15 M3′≡1(mod 8)， 得－M2′≡1(mod 8)，M2′≡－1(mod 8)

28

所以同余方程组的解是x≡40×2 + 24× (－1)×3 +15×(－1)×1 ≡ －7(mod 120).

?x ? 2 ?（3）化为?x ? 9 ??x ?3?mod 35?, ?,?mod1?mod 4?.??x ? 2 即???x ?3?mod 35?,

?mod 4?.用孙子定理解，M=140，M1=4，M2=35， 令4 M1′≡1(mod 35)， 得M1′≡9 (mod 35)；

35 M2′≡1(mod 4)， 得－M2′≡1(mod 4)，M2′≡－1(mod 4)；

所以同余方程组的解是x≡4×9×2 + 35× (－1)×3 ≡ －33 ≡ 107 (mod 140).

7. 设韩信所辖某部士兵共 26641人，在一次战斗中损失近百人. 休整时清查：1～3报数余 1，1～5报数余 3，1～ 7报数余 4. 问损失了多少人？

?x ? 1 ?mod 3?,??x ? 3 ?mod 5?,解：设还有士兵x人，由题设，得同余方程组?

?x ?4?mod 7?,?26541?x ?26600.?由口诀，x≡70 + 21×3 + 15×4≡193+105×251≡ 26548 (mod 105) 26641－26548=93人。损失了93人。

?26641?x ? 1 ??26641?x ? 3 设损失了x人，得同余方程组??26641?x ?4?0?x ?100.??x ? 0 ?mod 3?,?mod 3?,??mod 5?,?x ? 3 ?mod 5?,化为?

?mod 7?,?x ?2?mod 7?,?0?x ?100.?由口诀，x=21×3 + 15×2=93。损失了93人。

8. 求 7的倍数，使它分别被 2，3，4，5，6除时，余数都是 1.

解：设所求为7x, [2，3，4，5，6] =60，由题设，得7x ? 1 ?mod 60?,

用大衍求一术得x≡43 (mod 60), 7x=7×43=301， 故，所求为301+420t , t 为整数。 9. 求三个连续的自然数，使它们从小到大依次被 15，17，19 整除（写出其中最小的一组）.

??15x?1 ? 0 解：由题设，得同余方程组???15x ?2?0 ?, ?,??mod17?x ? 9 ?mod17化为标准形式为?

mod19 .x ?10mod19 .??????用孙子定理解，M=321，M1=19，M2=17，

令19 M1′≡1(mod 17)， 得M1′≡9(mod 17)， 17 M2′≡1(mod 19)， 得M2′≡9(mod 19)，

所以同余方程组的解是x≡19×(－8)×9 + 17×9×10 ≡ 162 (mod 321). 本题所求的三个连续的自然数是162×15，162×15+1，162×15+2，即2430，2431，2432。

下面是不定方程内容（王进明本为第四章，习题这里没做）（赵继源本）习题3-1 1．解下列不定方程：

（1）7x－15y=31； （2）11x+15y=7； （3）17x+40y=280；

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（4）525x+231y=42； （5）764x+631y=527； （6）133x－105y=217. 解：（1）辗转相除得15=7×2＋1, ∴ 1 = 15－7×2= 7×(－2)－15×(－1)， ∴ 因此原方程的一个解是 x0＝－2×31＝－62， y0＝－1×31＝－31;

?x??62?15t原方程的通解为?这里t为任意常数.

?y??31?7t（2）辗转相除得15=11×1＋4, 11=4×2＋3, 4=3+1 ∴ 1 = 4－3=4－(11－4×2)= 4×3－11=

(15－11×1) ×3－11=15×3 + 11×(－4)，

∴ 因此原方程的一个解是 x0＝－4×7＝－28， y0＝3×7＝21;

?x??28?15t原方程的通解为?这里t为任意常数.

?y?21?11t（3）用分离整数法：x?280?40y8?6y?16?2y?.

1717观察可知y =－10时，x = 36 + 4= 40.

?x?40?40t∴ 原方程的通解为?这里t为任意常数.

y??10?17t?2. 解下列不定方程：（1）8x-18y+10z=16； （2）4x-9y+5z=8； （3）39x-24y+9z=78； （4）4x+10y+14z+6t=20； （5）7x-5y+4z-3t=51.

3. 解下列不定方程组：（1） x+2y+3z=10， （2） 5x+7y+3z=25，

x-2y+5z=4； 3x- y-6z=2；

（3） 4x-10y+ z=6， （4） 10x+7y+ z=84，

x-4y- z=5； x-14y+ z= -60；

4. 求下列不定方程的正整数解：（1）5x－14y=11； （2）4x+7y=41； （3）3x+2y+8z=21. 5. 21世纪有这样的年份，这个年份减去 22 等于它各个数字和的495倍，求这年份.

6. 设大物三值七，中物三值五，小物三值二，共物一百三十八，共值一百三十八，问物大中小各几何？

7. 买2元6角钱的东西，要用1元、5角、2角、1角的四种钱币去付，若每种钱币都得用，则共有多少种付法？

8. 把 239分成两个正整数之和，一个数必是 17 的倍数，另一个数必是 24的倍数，求这两位数.

9. 一个两位数，各位数字和的 5倍比原来大 10，求这个两位数.

10. 某人 1981年时的年龄恰好等于他出生那一年的年号的各位数字之和，这个人是在哪一年出生的？

11. 一个四位数，它的个位数上数比十位数字多 2，且此数与将其数字首尾颠倒过来所得的四位数之和为 11770，求此四位数 . 习题 3-2

1．求 x2+ y2= z2中 0< z<60的所有互质的解.

2．求三个整数 x，y，z（x> y> z>0），使 x- y，y- z，x- z都是平方数 . 1．

b 1 1 1 2 2 2 3 4 30

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