令(a,b)?d,a?dt1,b?dt2,?t1,t2??1,?x,y使xt1?yt2?1,x(t1?t2)?(y?x)t2?1, ?(t1?t2,t2)?1.同理(t1?t2,t1)?1.?(t1?t2,t1t2)?(t1?t2,t1)?1(定理1.21),
?(dt1?dt2,dt1t2)?d(定理1.14).即，?a,b??(a?b,?a,b?). ( 33, 90 ) = 3, 所以 ( a, b ) = 3.
10. 因为AB、BC 的中点上都要植上一棵树，315÷2=157.5因此应考虑1400和1575的最大公约数175。最后答案：两树间的距离最多有17.5米 . 11. 2个 .
12. 设小明 x岁，则爷爷 7x岁，7x +h =6(x+h) , x=5h; 7x +k =5(x+k) , x=2k; 7x +i =4(x+i) , x=i; 7x +j =2(x+j) , 5x=j; 知小明年龄是2, 5的倍数。因此小明 10岁，爷爷 70岁.
习题 1-4
1.把下列各数分解质因数：2001，26840，111111，999 999 999 999 解： 2001= 3×23× 29， 26840= 5×11×23×61， 111 111= 3× 7×11×13× 37. 999 999 999 999=111 111×9 000 009=33× 7×11×13× 37×1 000 001，而 1 000 001=101×9901，∴999 999 999 999=33× 7×11×13× 37×101×9901。 2.用分解质因数法求：（1）（4712，4978，5890，6327）；（2）［4712，4978，5890］. 解：4712=4×1178=23×589=23×19×31, 4978=2×2489=2×19×131 5890=10×589=2×5×31, 6327=9×703=32×19×37 ∴ (1)19， (2)3086360×9×37=1027757880．
3. 将 85，87，102，111，124，148，154，230，341，354，413，667分成两组（每组 6个数），怎么分才能使每组各数的乘积相等？
解：—组为：85，111，124，154，354，667；另一组为：87．102，148，230，341，413． 4．某校师生为贫困捐款1995元，这个学校共有教职工35人，14个教学班，各班学生人数相同，并且多于30人但又不超过45人，如果师生平均每人捐款的钱数都是整数元，那么平均每人捐款多少元？ 解：1995=3×665=5×399=7×285=5×7×57=3×5×7×19, 每人捐款的钱数只能是1、3、5、15、19、21或57。57不可能，否则教师捐款就够了; 19,15和1元也不行，与学生数显然不符; 平均每人捐款5元的话，每班人数为(399-35)=364÷14=26, 仍少于30; 所以平均每人捐款3元。此时每班人数为(665-35)=630÷14=45符合假定人数范围。
5. 甲、乙两人各射五箭，每射一箭得到环数或者是“0”(脱靶)，或者是不超过10的自然数。两人五箭所得环数的乘积都是1764，但甲的总环数比乙的少4环求甲、乙两人的总环数各是多少？
解：1764=4×441=4×212=22×32×72, 由441-1=440=2×220,220=11×10×2 6．证明：（1） (a，[b，c]) = [(a，b)，(a，c)]
2?a,b,c?.此题1-3已证明，在此要求用分解质因数方法证明。 [a,b,c]（2）?[a,b][b,c][c,a](a,b)(b,c)(c,a)2r
（采用教材p成分的说法，可使证明叙述起来简捷一些：设p为质数，a，r∈N+,如果p | a， 且 p
r+1r
| a，这时称 p为 a 的 p 成分，用 p(a) 表示a的p成分的幂指数，即p(a) =r. ）
证明：设p(a) =l，p(b) = m，p(c) =n，且不妨设l?m?n。
（1）p (a，[b，c]) =min{ p(a),max{ p(b), p(c)} }= min{l, m}=m，
11
p [(a，b)，(a，c)]= max{ min{ p(a), p(b) }, min{ p(a), p(c)}}= max{m,n}= mr.
由于p是任意质数，所以(a，[b，c]) = [(a，b)，(a，c)]。
（2）∵p([a,b][b,c][c,a])?p[a,b]?p[b,c]?p[c,a]?l?m?l?2l?m
?[a,b,c]2?p[a,b,c]?2p[a,b,c]?2l,∴p????m。
?[a,b][b,c][c,a]?2∵p((a,b)(b,c)(c,a))?p?a,b??p(b,c)?p(c,a)?m?n?n?2n?m
2??a,b,c??2???m。 p[a,b,c]?2p[a,b,c]?2n ∴p??(a,b)(b,c)(c,a)???由于p是任意质数，所以题设等式成立。
7. 自然数555 555的约数中，最大的三位数是多少？ 解：555 555=5×111 111= 3×5×7×11×13× 37. 约数最小的三个相乘已经是三位数，那么在
C63?6?5?4?20种取法中， 3×5×37=555显然太小，故3,5只能取一个：5×11×13
3?2=55×13=715，再调大如7×11×13=1001就超出了；3×7×37=777，调大如3×11× 37=1 111,已经超出，故777即为所求。
8.若 2836，4582，5164，6522 四个数被同一个自然数相除，所得余数相同，求除数和余数各是多少？
解：4582-2836=1746=2×873=2×9×97, 5164-4582=582=2×291=2×3×97, 6522-5164=1358=2×679=2×7×97, （1746，582，1358）=2×97 所以，除数为97时，余数为23；除数为194时，余数为120． 9. (1) 所有正约数之和＝15的最小自然数是多少？ (2) 所有正约数之积＝64的最小自然数是多少？
(3) 有没有这样的自然数，其所有正的真约数之积等于它本身？
解 (1) 15=1×15=3×5，若15=1×15，a有唯一质因数，即a=p，
由公式??a?=15?p??p??1???p?1，?p(p??1???p?1)?14，p只能是2. 令自然数a=2k，此时??a??2若??a??15=3×5，即
k?1??1?15，得k=3，即a=8；
?i?12pi?i?1?1?3×5
pi?13?pi?i?pi?i?1???pi?1?pi(p?i?1???pi?1)?2，pi,?i无解。
故??a??15=3×5为不可能。因此所求最小自然数就是8. （2）a
??a??64?26,a??a??212或a??a??46,a??a??84a??a??642。
?(2)=2≠12, ?(4)=3≠6, ?(64)=7≠2, ?(8)=4, 因此所求最小自然数就是8.
?a?a (3) 自然数a的所有正约数之积=a??，由题设有a???a2，即??a??4=22，
12
故分解式或 ⑴ 只含1个质因数 p，此时 p 的指数为3, 即a?p3, 或 ⑵ 为2 个质数的乘积，即a?p1p2，这样的自然数，其所有正的真约数之积都等于它本身。 2
10. 若a，b，c∈N+, 且 a= bc，(b，c)=1，则b，c均为平方数。 证明：?(b,c)?1,令b??pi?1mni?i,c??qjj,有pi?qj(?i,j)
j?1m?已知a?bc?2?pi??qj,故a??pi2??qj2,?ii?1j?1n?jn?im?j?i2?N?,?j2?N?(?i,j).
i?1j?1得?i?2?i',?j?2?j',?i'?N?,?j'?N?(?i,j).
???2?'?'??b??pi2?i'???pi?i'?,c??qjj???qjj?, 结论成立。
i?1j?1?i?1??j?1?nnmm2211. 975×935×972×（ ）要使这个乘积的最后 4个数字都是 0，括号中最小应填什么自然数？
解：20．四个数分解质因数后一共应该有且只有4个2与4个5，需补充2个2与1个5。
12. （1）设[a，b]=72，且a≠b，那么a + b有多少种不同的值？ （2）已知（a，b）=12, [a，c]= [b，c]=300,满足上述条件的自然数共有多少组（a=12, b=c=300与a= c=300, b=12算不同的两组）？ 解：（1）72=23×32, 由充要条件a，b只含有2,3的质因数且不超过72, 见下表 a b a+b 32 17 23=8 2×32 26 22×32 44 32 33 23×3=24 2×32 42 22×32 60 1 73 23×32=72 32 81 2×32 90 22×32 108 由于a，b是对称的，所以一共10种不同的值。
（2）300=12×25, 因此a，b，c只含有2，3，5的质因数且不超过300, 见下表 a b c 12 12×52 12 12×5 12×52 12×52 12×52 12×5=60 12 同左 12×52=300 12 同左 一共5组。 13. 求：（1）?(180)；（2）?(180)；（3）?1 (180).
23?133?152?1???7?13?6=546 (3)1809．解：180=2×3×5, ∴(1)3×3×2=18． (2) 2?13?15?12
2
14．求出最小的正整数n，使其恰有144个正约数，并且其中有十个是连续的整数。 解：144=122=6×3×2×2×2, 表明n的标准分解式应含有五个不同质数,并应该从2开始取，且使2的次数为5，3的次数为2，其他皆为1，故所求即25×32×5×7×11=110880。 它不仅有10个甚至有12连续的约数:1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12.
附）广西师范大学赵继源主编的《初等数论》习题1—4中的部分题目(与以上相同的不列)
13
6.200以内仅有 10个正约数的自然数有几个？并一一求出 . 7.求：（1）?(180)；（2）?(180)；（3）?1 (180). 8.已知［A，B］=42，［B，C］=66，（A，C）=3，求 A，B，C .
9.一个自然数有 21个正约数，而另一个自然数有 10个正约数，这两个数的标准分解式中仅含有不大于 3的质因数，且这两个数的最大公约数是 18，求此两数是多少？
10.小明有一个三层书架，他的书的五分之一放在第一层，七分之几（这个几记不清了）放在第二层，而第三层有书 303本，问小明共有书多少本？
11.某班同学（50人左右）在王老师带领下去植树，学生恰好能分成人数相等的 3 组，如果老师与学生每人种树的棵数一样多，共种了884棵，那么每人种多少棵树？ 12.少年宫游乐厅内悬挂着 200个彩色灯泡，这 200个灯泡按 1耀200编号，它们的亮暗规则是：第 1秒：全部灯泡变亮；第 2秒：凡编号为 2的倍数的灯泡由亮变暗；第 3秒：凡编号为 3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态，即亮的变暗，暗的变亮 .一般地，第 n 秒凡编号为 n 的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态。这样继续下去，每 4分钟一个周期，问第 200 秒时，明亮的灯泡有多少个？
习题 1-4解答
6．有5个，10=2×5=1×10因此所求的数应该为ab或c后者即令c=2也已经超出200,因此分别令a=2.b=3; a=2.b=5; a=2.b=7; a=3,b=2; a=2.b=11; 得48，80，112，162，176． 8．因为B |?B,C? , B |?A,B?, 所以B是66，42的公约数，因而B是6的约数。又
49因为?B,C??66?2?3?11,?A,B??42?2?3?7,所以7|A，11|C，从而设
因为知?2??2?1,且?1?1。A?2?13?27,B?2?13?2,C?2?13?211, 由?A,C??3,若B不含2的话，由?B,C??66, ?A,B??42，A，C就必须同时含2, 与?A,C??3矛盾。
∴A?2?1?3?7,B?2?3?2,C?2?1?3?11,?1,?2,?1?1,0,而且?1与?1不能同时为1. 于是?2?1和0时,各有?1?1,?1?0;?1?0,?1?0;?1?0,?1?三种情况1,共得6组解，分别为：（自行写出）
9. 576和162 10.3535本。解：由题目可知小明的书的册数是35的倍数, 设为35k, 可列出方程28k－5xk=（28－5x）k=303=3×101知k=101.
11. 分解质因数：884=4×13×17=17×52=68×13，884的因数中有4, 13, 52都具有3k+1形式，只有52=符合50人左右的题设，因此学生51人。
12. 灯的一次“改变”对应着它的编号的一个因子. 要使灯仍旧亮着需要奇数次“改变”．什么样的数有奇数个因子呢? 由定理1.26公式⑴知只有完全平方数! 200以内的完全平方数只有14个。即为答案. 此题也可先考虑10个灯泡。用归纳得出“只有完全平方数”的结论。
习题1-6部分习题解答
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1. 若集A=?x|x?[sin?],??R?,B=x|x?[tan?],????2?k?,求A∩B,A∪B.
?解：A={－1,1}, B=Z(全体整数集合)，∴A∩B=A,A∪B=Z. 2. 设 ?1??1?2，试求??,????(1?7)??的值。 ????3?7??3?7??3?77?1?1??3?7?解：, 代入得10。 ?2?7?3,??????2,???2?????2?22?3?7??3?3333. 求??1?2?3??2000??的值。
解：显然，1?2?33??32000?1；设1?2?33??32000?2
3则1?2?33??32000?8，2?33??32000?7，即2?3??32000?343。
33333333??32000?341，继续下去有3?34??32000?3413，这显然是不可能的，因此
?3?333??1?2?3??2000??=1.
4. 证明：若（p, q）=1，则??????????q??q??证：对于1?k?q－1,均有q ?k p，即??p??2p??(q?1)p?(p?1)(q?1)。 ??q?2kp?kp??kp??Z，故????????1 q?q??q?于是??kp??(q?k)p??kp??kp?=??p????p?1 ???????q??q??q??q??p??2p??(q?1)p?q?11??kp??(q?k)p??(p?1)(q?1)∴????。 ????????????????2?q??q??q?k?12??q??q??5. 求?log21???log22???log23?????log21024?的值。 解：?log21???log22???log23?????log21024?=
=?log22???log22???log24?????log24???log28?????log2512???log21024?
????????????????24=1×2+2×2+3×2+…+9×2+10=1 × (22-2)+2×(23-22)+3×(24-23)+…+9×(210-29)+10
239
210?1=-2-2-2-…-2+9×2+10=?2?+9×210+10=7×210+12=7180.
2?12
3
9
10
6. 求使
101?102?103???999?1000为整数的最大自然数k的值。 k715
百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库王进明初等数论习题详细解答2013.5第九版(可打印版)(3)在线全文阅读。
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