渗流力学基本理论(4)

(1)流网（flow net）：渗流场中由一组流线与由一组等势线（当容重不变时为一组等水头线）相交组成的网格。对各向同性介质组成正交网。

流线（Streamline）渗流场内处处与渗流速度矢量相切的曲线。

地下水动力学中流线的概念和水力学中的概念是完全一致的。流线应是一根处处和渗流速度矢量相切的曲线。因此，流线簇就代表渗流区内每一个点的水流方向。 1.4.2流函数方程

(1) 流线的方程

根据上述定义，没有水流穿越流线。现在来研究描述流线的方程式。如图，在任一流线上取任意两点M(x, y)和M' (x+dx, y+dy)。M点的渗流速度矢量为v，它与它的两个分量Vx，Vy构成一个三角形MAB。自M' 点作垂线Mb，并延长至a，见图。

图1-13 流线

当M与M' 无限逼近时，弧线MM'可用切线Ma来代替，故有Mb= dx，ab=dy。因为?MAB≈?Mab，有以下等式成立： 流线方程

dxdy?vxvy(1-33a)

vxdy?vydx?0(1-33b)

M和M’是任意流线上任选的两点。因此，上式对流线上的任一点都是正确的，可以把它看成是流线的方程，用它来描述流线。上面的流线方程无论对各向同性和各向异性介质都是适用的。在各向异性介质中，如果选取的坐标轴(直角坐标系)的方向分别与渗透系数的主方向一致，则上式变为：

dydx??H?HKxxKyy?x?y

对于各向同性介质，则式中的Kxx=Kyy=K。由于（1-33b）式只涉及一个点的水流情况，故也适用于非均质介质。

(2) 流函数方程

d??设有二元ψ函数Ψ(z,y)，其全微分为:

????dx?dy?x?y。若取这样一种函数，使

??????vy,??vx?x?y(1-34)

d??则

????dx?dy?vxdy?vydx?0?x?y(1-35)

对其积分得：?=常数。表明沿同一流线，函数?为常数，不同的流线则有不同的函数值。称函数?为流函数，又称Lagrange流函数，量刚为[L2T-1]。

（3）流函数的物理意义

在无限接近的两条流线?和??d?上沿某等水头线取两个点a(x,y)和b(x+dx,y+dy)。自a、b分别做垂线和水平线，相交于c。见图1-14。

通过两流线之间的单宽流量dq可看作是通过ac和bc的流量的代数和。将渗流速度分解则有：dq=vxac+vybc，但ac=dy，bc=-dx，所以有dq=vxdy-vydx

把式（1-34）和（1-35）代入上式，则得到：

dq?将（35）式在ψ1和ψ1区间积分得：

????dy?dx?d??y?x(1-36)

图1-14 流函数与流量之间的关系

q??d???2??1?1?2(1-37)

由（1-37）可以得出：在平面运动中，两流线之间的单宽流量等于和这两条流线相应的流函数之差。在同一条流线上，dψ=0，q=0，ψ=常数。

由达西定律和（1-48）式，有：

vx??K?H???H???,vy??K???x?y?y?x(1-38)

将（1-38）中第一式对y求导，第二式对 x求导，得到：

?2H?2??2H?2??K?,?K??2?x?y?y2?y?x?x ?2??2???2,2?y?x整理得：

满足该方程。

(4) 流函数的特性

① 对于一给定的流线，流函数是常数。不同的流线有不同的常数值。流函数决定于流线。ψ=c

?2??2???0?y2?x2 (1-39)

表明在均质各向同性介质中，流函数满足Laplace方程，而在其他情况下，流函数均不

② 在平面运动中，两流线之间的单宽流量等于和这两条流线相应的流函数之差。q=ψ

1-ψ2

③ 在均质各向同性介质中，流函数满足Laplace方程；而在其他情况下，流函数均不满足该方程。

④ 在非稳定流中，流线不断地变化，只能给出某一瞬时的流线图。只有对不可压缩的液体的稳定流动，流线才有实际意义。 1.4.2流网的性质

（1）在各向同性介质中，流线与等水头线处处垂直，流网为正交网格。 由（1-38）式，得：

?K消去K，得：

?H???H???K?y?y?x?x(1-40)

?H???H????0?x?x?y?y(1-41)

gradH??H?等水头线

?H?Hi?j?x?y

grad?????流线

式中i，j——单位矢量。

????i?j?x?y

?H?????H???H????0?x?x?y?y(1-42)

??????0(1-43)

在非均质各向同性介质中，上式亦成立。

（2）在均质各向同性介质中，流网中每一网格的边长比为常数。

dH??H?H1dx?dy???ds?x?yK

?H?H1d??dx?dy??ds?x?yK

dsdH??Kdld?(1-44)

式中dl——相邻流线的间距；

ds——等势线的间距。

通常取ds/dl=1，流网为曲边正方形。

（3）若流网中各相邻流线的流函数差值相同，且每个网格的水头差值相等时，通过每个网格的流量相同。

?q?KJ?l?K?H?l?l?K?H?s?s(1-45)

?l当?s=1时，?q?K?H (1-46)

式中?s——网格相邻两等势线间的平均长度；

?l——网格相邻两流线间的平均宽度。

若上下游总水头差Hr=H1-H2，则m个水头带中每一网格的水头差为

?H?Hrm(1-47)

（4）若两个透水性不同的介质相邻时，在一个介质中为曲边正方形的流网，越过界面进入另一个介时则变成曲边矩形。

?q?K1?H?H?l1?K2?l2?s1?s2

?l1K2?l2??s1K1?s2

?l1?l2?l1K1?1??1?s?s?sK12当K1?K2，且1时，2。

1.4.3流网的绘制与应用 1.4.3.1 流网的绘制

可采用解析法、各种模型试验法、徒手绘渐进法绘制流网。 （1）确定边界条件

① 河渠的湿周为一条等水头线。 ② 平行于隔水边界可绘制流线。

③ 无入渗补给及蒸发排泄，有侧向补给，做稳定运动时，地下水面是一条流线。 ④ 有入渗补给时，地下水面既不是流线也不是等水头线。

（2）根据已经确定的边界条件，根据流网的性质可以判定另一条件，作出流网。 （3）根据流网的性质绘制，各向同性含水层中，流线与等水头线处处正交，网格边长比为常数。

（4）在同一渗流区内，除奇点外，流线与等水头线各自不能相交；如遇透水性大的透

镜体时，则流线向该点汇集，反之则绕行。流线穿越突变界面时，应用水流折射定律绘制。 1.4.3.2流网的应用

（1）定量计算渗流区中的渗流运动要素

①水头H、渗透压强P P??H?Z,P??(H?Z)(1-48)

②水力梯度J、渗流速度v

J??H,?sv?KJ(1-49)

③流量q

q?K?Hn?Kn(H1?H2)m(1-50)

式中m、n——水头带数目、流带的数目。

（2）定性分析渗流区的水文地质条件及其变化。 （3）主要用于解决稳定渗流问题。

1.5 渗流连续方程

1.5.1含水层的状态方程

含水层的状态方程主要包括地下水的状态方程和多孔介质的状态方程。 1.5.1.1 地下水的状态方程

Hooke定律：

E??VdpdV

式中E——体积弹性系数（体积弹性模量），20℃时，E=2.1×105N/cm2。其倒数为压缩系数。

等温条件下，水的压缩系数(coef. of compressibility)为

???1dVVdp

（1-51）

积分（p→p0，V→V0）改写得：

??(p?p0)体积：V?V0e

（1-52）

?(p?p)???e0密度：

0（1-53）

（1-54）

按Taylor级数展开，得到近似方程： V?V0[1??(p?p0)] 和

???0[1??(p?p0)]

（1-55）

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