2012年寒假物理集训六静电场导学(4)

库仑定律的表达式为：

和

，

例5、有一空气平行板电容器，极板面积为S，与电池连接，极板上充有电荷

断开电源后，保持两板间距离不变，在极板中部占极板间的一半体积的空间填满（相对）介电常数为的电介质，如图1-3-4所示。求： （1）图中极板间a点的电场强度？ （2）图中极板间b点的电场强度

？

（3）图中与电介质接触的那部分正极板上的电荷？

（4）图中与空气接触的那部分正极板上的电荷

？ （5）图中与正极板相接触的那部分介质界面上的极化电荷

解： 设未插入电介质时平行板电容器的电容为

，则（1）

（2）

（3）

（4）

（5）因

故

解得

图1-3-4

？

负号表示上极板处的极化电荷为负。 1．3．3． 电像法

电像法的实质在于将一给定的静电场变换为另一易于计算的等效静电场，多用于求解在边界面（例如接地或保持电势不变的导体）前面有一个或一个以上点电荷的问题，在某些情况下，从边界面和电荷的几何位置能够推断：在所考察的区域外，适当放几个量值合适的电荷，就能够模拟所需要的边界条件。这些电荷称为像电荷，而这种用一个带有像电荷的、无界的扩大区域，来代替有界区域的实际问题的方法，就称为电像法。例如：

图1-3-5

①一无限大接地导体板A前面有一点电荷Q，如图1-3-5所示，则导体板A有（图中左半平面）的空间电场，可看作是在没有导体板A存在情况下，由点电荷Q与其像电荷-Q所共同激发产生。像电荷—Q的位置就是把导体板A当作平面镜时，由电荷Q在此镜中的像点位置。于是左半空间任一点的P的电势为

式中和

分别是点电荷Q和像电荷-Q到点P的距离，并且

，此处d是点电荷Q到导体板A的距离。

电像法的正确性可用静电场的唯一性定理来论证，定性分析可从电场线等效的角度去说明。

②一半径为r的接地导体球置于电荷q的电场中，点电荷到球心的距离为h，球上感应电荷同点电荷q之间的相互作用也可以用一像电荷

替代，显然由对称性易知像电荷在导体球的球心O与点

o 图1-3-6

电荷q的连线上，设其电量为任一点P，其电势

，离球心O的距离为，如图1-3-6所示，则对球面上

整理化简得

要使此式对任意成立，则必须满足

解得

③对（2）中情况，如将q移到无限远处

，同时增大q，使在球心处的电场

保持有限（相当于匀强电场的场强），这时，像电荷对应的无限趋

近球心，但保持有限，因而像电荷和在球心形成一个电偶极

子，其电偶极矩。

无限远的一个带无限多电量的点电荷在导体附近产生的电场电场中

可看作是均匀的，因此一个绝缘的金属球在匀强受感应后，它的感应电荷在球外空间的作用相当

图1-3-7

于一个处在球心，电偶极矩为

的电偶极子。

的点电荷（图

例6、在距离一个接地的很大的导体板为d的A处放一个带电量为1-3-7）。

（1）求板上感应电荷在导体内P点（（2）求板上感应电荷在导体外表面对称。

）产生的电场强度。

点与P点以导体板右

点产生的电场强度，已知

（3）求证导体板表面化的电场强度矢量总与导体板表面垂直。 （4）求导体板上感应电荷对电荷

的作用力，

电荷置于导体板上，试说明这部分

电

（5）若切断导体板跟地的连接线，再把

荷在导体板上应如何分布才可以达到静电平衡（略去边缘效应）。

分析： 由于导体板很大且接地，因此只有右边表面才分布有正的感应电荷，而左边接地那一表面是没有感电荷的。静电平衡的条件是导体内场强为零，故P点处的场强为零，而P点处的零场强是导体外及表面电荷产生场强叠加的结果。

解： （1）因为静电平衡后导体内部合场强为零，所以感应电荷在P点的场强在P点的场强

大小相等，方向相反，即

和

图1-3-8乙 图1-3-8丙 图1-3-8丁 图1-3-8 戍

到P点的距离。

方向如图1-3-8乙，是

（2）由于导体板接地，因此感应电荷分布在导体的右边。根据对称原理，可知感应电荷在导体外任意一点

处场生的场强一定和感应电荷在对称点

处产生的场强镜像对

称（如图1-3-8丙），即，而，式中为到的距离，

因此，方向如图1-3-8丙所示。

取在导体的外表面，此处的场强由

和

叠加而成

（3）根据（2）的讨论将

（如图1-3-8丁所示），不难看出，这两个场强的合场强是垂直于导体表面的。 （4）在导体板内取一点和为零。由对称可知，A处的以

所受的电场力大小为

所在点A对称的和

点，

的场强由

和

叠加而

应是大小相等，方向相反的（如图1-3-8戍），所

方向垂直板面向左。 （5）因为

和

在导体内处处平衡，所以+Q只有均匀分布在导体两侧，才能保

持导体内部场强处处为零。

从以上（2）、（3）、（4）的分析中可看出：导体外部的电场分布与等量异种电荷的电场分布完全相似，即感应电荷的作用和在与A点对称的就是所谓的“电像法”。

§1、4 电容器

1．4．1、 电容器的电容

电容器是以电场能的形式储存电能的一种装置，与以化学能储存电能的蓄电池不同。 任何两个彼此绝缘又互相靠近的导体，都可以看成是一个电容器，电容器所带电荷Q与它两板间电势差U的比值，叫做电容器的电容，记作C，即

位置上放一个

的作用完全等效，这

电容的意义就是每单位电势差的带电量，显然C越大，电容器储电本领越强，而电容

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