图 8-7 两个周期序列（N=7）的周期卷积 ~x(2?m)n＝2 ( f )0N－1m
~y(n)
33
22
…11… ( g )n －N0N
图 8-7 两个周期序列（N=7）的周期卷积
由于DFS和IDFS变换的对称性，可以证明（请读者自己证明）时域周期序列的乘积对应着频域周期序列的周期卷积。即，如果
~y(n)?~x1(n)~x2(n)
则 N?11N?1~~~nk~~Y(k)?DFS[y(n)]??y(n)WN??X1(l)X2(k?l) Nl?0n?0
1N?1~~ ??X2(l)X1(k?l)Nl?0
(8-23) 8.3 周期序列DFS表示的性质的汇总
2
8.4周期信号的傅里叶变换 8.4.1 定义
对周期序列， 若不满足平方可和或绝对可和; 那么：
DTFT
?
2? ? ? (? ? ? 0?2?r)j?0nr???
DTFT和DFS:
2?jkn ~1N?1~~~DFSi.e.,x[n]??X[k]eNx[n]????X[k] Nk?0
若 2??~2?k~j?DTFT~x[n]????X(e)?X[k]?(??) ? Nk???N 则
2??~2?k ~~j?DTFTx[n]????X(e)?X[k]?(??) N k? N (8-24) ???
e
谱由一系列冲激组成，其权由DFS决定。
2?N?1jkn 1~~x[n]??X[k]eN Nk?02? jkn1N?1~~NDTFT(x[n])?X[k](DTFT(e))? Nk?0 ?1N?1~2? ??X[k]?2??(??k?2?r)
Nk?0Nr???
2??N?1~2?(k?rN) ?X(k)?(??)??Nr???k?0N
2??~2?k? ? ?X(k?rN)?(??)?NN k???? 2??~2?k ?X(k)?(??)? Nk???N
8.4.2 DTFT 和 DFS的关系
令x[n] 是长度为N 的序列，对其周期拓展得 :
~x[n]?x[n]?~p[n]
其中，
?? ~~p[n]???[n?rN], 则 x[n]??x[n?rN] r???r??? 在 DTFT 域: ?2?2?k~j?j?~j?j?) X(e)?X(e)P(e)?X(e)??(??NNk??? 2?k?j2?2?k ?X(eN)?(??) ? N k ??? N (8-25)
通过比较(8-24) & (8-25)，可得：
~ X[k]?X(ej?)2?k??N
8.5 对傅立叶变换的采样
首先，考虑一个任意的绝对可和的非周期序列x(n)，它的Z变换为
?
X(z)??x(n)z?n n???由于绝对可和，所以其傅里叶变换存在且连续，故Z变换收敛域包括单位圆。如果我们对X(z)在单位圆上进行N点等距采样： ?(n? 0 ,1 X (k ) ? X ( z) z ?W ? x )W Nnk k ,? N ? 1 ??kNn???（8-25）
问题在于，这样采样以后是否仍能不失真地恢复出原序列x(n)。 也就是说，频率采样后从X(k)的反变换中所获得的有限长序列， 即
~X(k)xN(n)=IDFT［X(k)］，能不能代表原序列x(n)？为此，我们先来分析~xN(n)X(k)的周期延拓序列 的离散傅里叶级数的反变换， 令其为 。
1N?1~1N?1~?nk~ xN(n)?IDFS[X(k)]??X(k)WN??X(k)WN?nkNk?0Nk?0
将式（2-64）代入此式，可得 ?1N?1???1N?1(m?n)k?mk??nk~ xN(n)????x(m)WN?WN??x(m)??WN?Nk?0?m???Nk?0m??????
由于
1(m?n)kWN?Nk?0
所以
~xN(n)??r???N?1?1???0m=n+rN, r为任意整数 其他m
?x(n?rN)8-26）
~~X(kxN(n)这说明由 ) 得到的周期序列 是原非周期序列x(n)
的周期延拓，其时域周期为频域采样点数N。在前面已经知道，时域
采样造成频域的周期延拓，这里又看到一个对称的特性，即频域采样同样会造成时域的周期延拓。
1） 如果x(n)是有限长序列，点数为M，则当频域采样不够密，即当
~xN(n)N 就不能不失真地恢复出原信号x(n)来。因此，对于M点的有限长序列x(n) 频域采样不失真的条件是频域采样点数N要大于或等于时域采样点 ?x(n)x(n)???00≤n≤M-1 其他n 数M（时域序列长度），即满足 N≥M （8-27） 此时可得到 ?~? rN(nN(N x N (n ) ? x n ) R N (n ) ? ? x (n )R ) ? x ( n ) r???N≥M （8-28） 也就是说，点数为N（或小于N）的有限长序列，可以利用它的Z变换在单位圆上的N个等间隔点上的采样值精确地表示. （2） 如果x(n)不是有限长序列（即无限长序列），则时域周期延拓后，必然造成混叠现象，因而一定会产生误差;当n增加时信号衰减得越快，或频域采样越密（即采样点数N越大），则误差越小，即xN(n)越接近x(n)。 ? 既然N个频域采样X(k)能不失真地代表N点有限长序列x(n)， 那么这N个采样值X(k)也一定能够完全地表达整个X(z)及频率响应X(ejω)。 讨论如下： N?1X(z)??x(n)z?n n?0 由于 1N?1 ?nkx(n)??X(k)WN Nk?0 将它代入X(z)式子中，得到 N?1N?1 1N?1?1N?1?nk??n?nk?nX(z)????X(k)WN?z??X(k)[?WNz] NNn?0?k?0k?0n?0??Nk?N 1?WNz1N?1?X(k)? ?k?1Nk?01?WNz 由于WN-Nk=1，因此 1?zN?1X(k)X(z)? ??k?1Nk?01?WNz （8-29） 这就是用N个频率采样X(k)来表示X(z)的内插公式。它可以表示为 N?1X ( z) ? X ( k )? k( z ) （8-30） ?k?0式中 11?z?N （8-31） ?k(z)??k?1N1?WNz 百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库数字信号处理讲义--第8章 离散傅里叶变换(3)在线全文阅读。
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