数字信号处理讲义--第8章 离散傅里叶变换

第8章 离散傅里叶变换

教学目的

1．理解离散傅里叶级数、傅里叶变换的概念和性质，掌握循环卷积的计算方法；

2．掌握用离散傅里叶变换实现线性卷积的条件和方法。 教学重点与难点 重点：

1．理解离散傅里叶级数、傅里叶变换的概念和性质，掌握循环卷积的计算方法；

2．掌握用离散傅里叶变换实现线性卷积的条件和方法。 难点：

１． 循环卷积的计算方法。

２． 离散傅里叶变换实现线性卷积的条件与方法。 8.0 引 言

在前面讨论了序列的傅里叶变换和Z变换。由于数字计算机只能计算有限长离散序列，因此有限长序列在数字信号处理中就显得很重要， 当然可以用Z变换和傅里叶变换来研究它， 但是，这两种变换无法直接利用计算机进行数值计算。针对序列“有限长”这一特点，可以导出一种更有用的变换：离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform， 简写为DFT）。它本身也是有限长序列。 作为有限长序列的一种傅里叶表示法，离散傅里叶变换除了在理论上相当重要之外，而且由于存在有效的快速算法——快速离散傅里叶变换，因而在各种数字信号处理的算法中起着核心作用。 ? 有限长序列的离散傅里叶变换（DFT）和周期序列的离散傅里叶级数（DFS）本质上是一样的。为了讨论离散傅里叶级数与离散傅里叶变换，我们首先来回顾并讨论傅里叶变换的几种可能形式，见图8-1所示。

|X( j?)| x(t)1 (a)oo?t－?－??? x(t)|X( jk??)| (b)otok?T ?|X( e?)|x(nT) 1/T

(c)nT oo－???TN点 |X( e??)|x(n)

aa00pppjjkspoN点n(d)－?oN点?s??

图 ８-1 各种形式的傅里叶变换

一个非周期实连续时间信号xa(t)的傅里叶变换，即频谱Xa(jΩ)是一个连续的非周期函数，这一变换对的示意图见图8-1(a)。 该变换关系与第1章“连续时间信号的采样”中所涉及到的非周期连续时间信号xa(t)的情况相同。 ?

一个周期性连续时间信号xp(t)，其周期为Tp，该信号可展成傅里叶级数，其傅里叶级数的系数为 ，即xp(t)的傅里叶变换或频谱Xp(jkΩ)是由各次谐波分量组成的，并且是非周期离散频率函数，xp(t)和Xp(jkΩ)的示意图见图８-1(b)。其中，离散频谱相邻两谱线之间的角频率间隔为Ω=2πF=2π/Tp，k为谱谐波序号。

在第２章里讨论了一个非周期连续时间信号xa(t)经过等间隔采样的信号（x(nT)），即离散时间信号——序列x(n)，其傅里叶变换X(ejω

)是以2π为周期的连续函数，振幅特性如图8-1(c)所示。 这里的ω是数字频率，它和模拟角频率Ω的关系为ω=ΩT。若振幅特性的频率轴用Ω表示，则周期为Ωs=2π/T。 ?

比较图8-1(a)、（b）和(c)可发现有以下规律：如果信号频域是离散的，表现为周期性的时间函数。相反，在时域上是离散的， 则该信号在频域必然表现为周期性的频率函数。不难设想，一个离散周期序列，它一定具有既是周期又是离散的频谱， 其振幅特性如图8-1(d)所示。

表8-1 四种傅里叶变换形式的归纳 时间函数 连续和非周期 连续和周期 离散和非周期 离散和周期 频率函数 非周期和连续 非周期和离散 周期和连续 周期和离散 可以得出一般的规律：一个域的离散对应另一个域的周期延拓， 一个域的连续必定对应另一个域的非周期。表8-1对这四种傅里叶变换形式的特点作了简要归纳。 ?

下面我们先从周期性序列的离散傅里叶级数开始讨论，然后讨论可作为周期函数一个周期的有限长序列的离散傅里叶变换。 8.1 周期序列的离散傅里叶级数(DFS) ~x(n)设 是一个周期为N的周期序列， 即

~ x(n)?~x(n?rN)

r为任意整数

周期序列不是绝对可和的，所以不能用Z变换表示，因为在任何z值下，其Z变换都不收敛，也就是 ? |~x(n)||z?n|???n???

但是，正如连续时间周期信号可以用傅里叶级数表示一样， 周期序列也可以用离散傅里叶级数来表示，该级数相当于成谐波关系的复指~x(n)数序列（正弦型序列）之和。也就是说，复指数序列的频率是周期序列 的基频（?2??2π/N）的整数倍。这些复指数序列ek(n)的形式j??kn?N?ek(n)?e?ek?rN(n)为

（8-1） 式中, k, r为整数。

由式（8-1）可见，复指数序列ek(n)对k呈现周期性，周期也为N。也就是说, 离散傅里叶级数的谐波成分只有N个独立量，这是和连续傅里叶级数的不同之处（后者有无穷多个谐波成分），因而对离散傅里叶级数，只能取k=0 到N-1的N个独立谐波分量， 不然就会产生二义性。因而 可展成如下的离散傅里叶级数，即 2?jkn1N?1~~x(n)??X(k)eN（8-2）

Nk?0

式中，求和号前所乘的系数1/N是习惯上已经采用的常数， 是k次谐波的系数。

~下面我们来求解系数X(k ) ，这要利用复正弦序列的正交特性，即

~x(n)1e?Nn?0N?1j2?rnN11?e?2?jrN1?eN?1r=mN, m为整数 ???0其他r

（8-3）

j2?rNN 2??jrnNe将式（8-2）两端同乘以 ，然后从n=0 到N-1的一个周期内求和，

则得到 2?2?N?1N?1N?1?jrnj(k?r)n1~~ x(n)eN???X(k)eN?Nn?0k?0n?0

2?N?1~?1N?1jN(k?r)n? ??X(k)??e?N k?0n?0??~ ?X(r)

把r换成k可得 2?N?1?jkn~~ X(k)??x(n)eN n? 0 （8-4）

~~这就是求k=0 到N-1的N个谐波系数 的公式。同时看出 也是X(k)X(k)一个以N为周期的周期序列，即

2?2?N?1N?1?j(k?mN)n?jkn ~~X(k?mN)??~x(n)eN??~x(n)eN?X(k) n?0n?0~这和离散傅里叶级数只有N个不同的系数 的说法是一致X(k)~~x(n)X(k)的。可以看出，时域周期序列 的离散傅里叶级数在频域（即~x(n)其系数 也是一个周期序列。因而 与 ?是频域与时域的一个周期序列对， 式（8-2）与式（8-4）一起可看作是一对相互表达周期序列的离散傅里叶级数（DFS）对。 ?

为了表示方便，常常利用复数量WN来写这两个式子。WN定义为

2??j NWN?e （8-5）

使用WN， 式（8-4）及式（8-2）可表示为: N? 1 2? nk N ?1 （8-5） ?j~nkx(n)]??~x(n)eN??~x(n)WN X(k)?DFS[~n?0n?0 2?N?1N?11~~x(n)?IDFS[X(k)]?N（8-5）

jnk1~NX(k)e??Nk?0~X?(k)WN?nkk?0

式中，DFS［·］表示离散傅里叶级数正变换，IDFS［·］表示离散傅里叶级数反变换。

从上面看出，只要知道周期序列一个周期的内容，其他的内容也都知道了。 所以，这种无限长序列实际上只有一个周期中的N个序列值有信息。 因而周期序列和有限长序列有着本质的联系。

~)例8-1 设 x (n 为周期脉冲串

? ~x(n)???(n?rN) r???

~(n)??(n)~(n)因为对于0≤n≤Nx-1， , 所以利用x式（8-6）求出 的DFS系数为 N?1N?1~nknk~? ?n) X (k ) ? x ( n )W N ? ( W N ? 1 （8-9） ?n?0n?0

~在这种情况下，对于所有的k)值 均相同。于是，将式X(k（8-9）代入式（8-7）可以得出表示式

? ~ ? 1 N? 1 ?nk 1 N ? 1 j 2N nk （8-10） x(n)???(n?rN)??WN??eNk?0Nk?0 r???

~例8-2 已知周期序列X(k) 如图8-2所示，其周期N=10, 试求解

~X(k)它的傅里叶级数系数 。 ~x(n) ……

－10012345678910n

~x(n) （周期N=10） 图8-2 例8-2的周期序列

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