第10讲 空间中的平行关系(2)

证法一：假设b 、c 共面于? ．由A ?a ，a ∥c 知，A ?c ，而a ?b ＝A，? ?? ＝a ，

∴ A ?? ，A ??。

又c ?? ，∴ ? 、? 都经过直线c 及其外的一点A， ∴ ? 与? 重合，于是a ?? ，又b ??。

又? 、? 都经过两相交直线a 、b ，从而??、? 重合。 ∴ ? 、? 、? 为同一平面，这与? ?? ＝a 矛盾。 ∴ b 、c 为异面直线．

证法二：假设b 、c 共面，则b ，c 相交或平行。

（1）若b ∥c ，又a ∥c ，则由公理4知a ∥b ，这与a ?b ＝A 矛盾。 （2）若b ?c ＝P ，已知b ?? ，c ?? ，则P 是? 、? 的公共点，由公理2，P ?a ，又b ?c ＝P ，即P ?c ，故a ?c ＝P ，这与a ∥c 矛盾。

综合（1）、（2）可知，b 、c 为异面直线。

证法三：∵ ? ?? ＝a ，a ?b ＝A ，∴ A ?a 。 ∵ a ∥c ，∴ A ?c ，

在直线b 上任取一点P（P 异于A），则P ??（否则b ?? ，又a ?? ，则? 、? 都经过两相交直线a 、b ，则? 、? 重合，与? ?? ＝a 矛盾）。

又c ?? ，于是根据“过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线”知，b 、c 为异面直线。

点评：证明两直线为异面直线的思路主要有两条：一是利用反证法；二是利用结论“过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线．。异面直线又有两条途径：其一是直接假设b 、c 共面而产生矛盾；其二是假设b 、c 平行与相交；分别产生矛盾。判定直线异面，若为解答题，则用得最多的是证法一、二的思路；若为选择或填空题，则往往都是用证法三的思路。用反证法证题，一般可归纳为四个步

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骤：（1）否定结论；（2）进行推理；（3）导出矛盾；（4）肯定结论．

宜用反证法证明的命题往往是（1）基本定理或某一知识系统的初始阶段的命题（如立体几何中的线面、面面平行的判定定量的证明等）；（2）肯定或否定型的命题（如结论中出现“必有”、“必不存在”等一类命题）；（3）唯一型的命题（如“图形唯一”、“方程解唯一”等一类命题）；（4）正面情况较为繁多，而结论的反面却只有一两种情况的一类命题；（5）结论中出现“至多”、“不多于”等一类命题。

例4．（1）已知异面直线a,b所成的角为700，则过空间一定点O，与两条异面直线a,b都成600角的直线有( )条

A．1 B．2 C．3 D．4 （2）异面直线a,b所成的角为?,空间中有一定点O，过点O有3条直线与a,b所成角都

0是60，则?的取值可能是（ ）

A．30 B．50 C．60 D．90 解析：（1）过空间一点O分别作a?∥a,b?∥b。

将两对对顶角的平分线绕O点分别在竖直平面内转动，总能得到与 a?,b?都成600角的直线。故过点 O与a,b都成600角的直线有4条，从而选D。

（2）过点O分别作a?∥a、b?∥b，则过点O有三条直线与a,b所成角都为600，等价于过点O有三条直线与a?,b?所成角都为600，其中一条正是?角的平分线。从而可得选项为C。

点评：该题以学生对异面直线所成的角会适当转化，较好的考察了空间想象能力。 题型3：线线平行的判定与性质 例5．（2003上海春，13）关于直线a、b、l及平面M、N，下列命题中正确的是（ ）

A．若a∥M，b∥M，则a∥b

B．若a∥M，b⊥a，则b⊥M

C．若aM，bM，且l⊥a，l⊥b，则l⊥M D．若a⊥M，a∥N，则M⊥N

解析：解析：A选项中，若a∥M，b∥M，则有a∥b或a与b相交或a与b异面。B选项中，b可能在M内，b可能与M平行，b可能与M相交.C选项中须增加a与b相交，则l⊥M。D选项证明如下：∵a∥N，过a作平面α与N交于c，则c∥a，∴c⊥M.故M⊥N。答案D。

点评：本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的基本性质。

例6．两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求证：MN∥平面BCE。

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0000

证法一：作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，则MP∥AB，NQ∥AB。 ∴MP∥NQ，又AM=NF，AC=BF， ∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45°

∴Rt△MCP≌Rt△NBQ

∴MP=NQ，故四边形MPQN为平行四边形 ∴MN∥PQ

∵PQ?平面BCE，MN在平面BCE外， ∴MN∥平面BCE。

AMACAHABAFNEDCMPBQ证法二：如图过M作MH⊥AB于H，则MH∥BC， ∴

?

FNBF?AHABDCM连结NH，由BF=AC，FN=AM，得∴ NH//AF//BE

AF由MH//BC, NH//BE得:平面MNH//平面BCE ∴MN∥平面BCE。

HNEB题型4：线面平行的判定与性质

例7．（2006四川理19 ）如图，在长方体

ABCD?A1B1C1D1中，E,P分别是BC,A1D1的中点，

M,N分别是A,E1C的D中点，

AD?AA1?a,AB?2a，求证：MN//面ADD1A1。

证明：取CD的中点K，连结MK,NK； ∵M,N,K分别为AK,CD1,CD的中点 ∵MK//AD,NK//DD1

∴MK//面ADD1A1，NK//面ADD1A1

∴面MNK//面ADD1A1 ∴MN//面ADD1A1

点评：主要考察长方体的概念、直线和平面、平面和平面的关系等基础知识，主要考察线面平行的判定定理。

例8．（1999全国文22，理21）如图所示，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EAC∥D1B，且面EAC与底面ABCD所成的角为45°，AB＝a.

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（Ⅰ）求截面EAC的面积；

（Ⅱ）求异面直线A1B1与AC之间的距离；

解：（Ⅰ）如图所示，连结DB交AC于O，连结EO。

∵底面ABCD是正方形，

∴DO⊥AC

又∵ED⊥底面AC， ∴EO⊥AC

∴∠EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角， ∴∠EOD＝45° DO＝

图 a·sec45°＝a，

22a，AC＝2a，EO＝

2222故S△EAC=

12EO·AC＝

a2．

（Ⅱ）由题设ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，得A1A⊥底面AC，A1A⊥AC．

又A1A⊥A1B1，

∴A1A是异面直线A1B1与AC间的公垂线.

∵D1B∥面EAC，且面D1BD与面EAC交线为EO， ∴D1B∥EO，

又O是DB的中点

∴E是D1D的中点，D1B＝2EO＝2a. ∴D1D＝

D1B?DB22?2a

异面直线A1B1与AC间的距离为2a. 题型5：面面平行的判定与性质

例9．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1 的棱长为a。证明：平面ACD1 ∥平面A1C1B 。

证明：如图，∵ A1BCD1 是矩形，A1B ∥D1C 。

又D1C ?平面D1CA ，A1B ?平面D1CA ， ∴ A1B ∥平面D1CA。

同理A1C1 ∥平面D1CA ，又A1C1 ?A1B ＝A1 ，∴ 平面D1CA ∥平面BA1C1 ．

点评：证明面面平行，关键在于证明A1C1 与A1B 两相交直线分别与平面ACD1 平

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行。

例10．P是△ABC所在平面外一点，A′、B′、C′分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心。

（1）求证：平面A′B′C′∥平面ABC； （2）S△A′B′C′∶S△ABC的值。

解析：(1)取AB、BC的中点M、N，

PC?PN3 则PM∴A′C′∥MN?A′C′∥平面ABC。 同理A′B′∥面ABC， ∴△A′B′C′∥面ABC.

?PA??2A?C?(2)MNA?C?AC??1PA?PN?222112AC=3AC 3?A′C′=3MN=3·

3， ?13?B?C?BC

A?B?同理ACS?A?B?C?∴S?ABC

?(A?C?AC)?219

五．思维总结

在掌握直线与平面的位置关系(包括直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系)的基础上，研究有关平行的判定依据(定义、公理和定理)、判定方法及有关性质的应用；在有关问题的解决过程中，进一步了解和掌握相关公理、定理的内容和功能，并探索立体几何中论证问题的规律；在有关问题的分析与解决的过程中提高逻辑思维能力、空间想象能力及化归和转化的数学思想的应用．

1．用类比的思想去认识面的垂直与平行关系，注意垂直与平行间的联系。 2．注意立体几何问题向平面几何问题的转化，即立几问题平面化。 3．注意下面的转化关系：

4．直线和平面相互平行

证明方法：○1证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；○2证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；○3证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。

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5．证明两平面平行的方法：

（1）利用定义证明。利用反证法，假设两平面不平行，则它们必相交，再导出矛盾。 （2）判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，

这个定理可简记为线面平行则面面平行。用符号表示是：a∩b，a a∥β，b∥β，则α∥β。

α，b

α，

（3）垂直于同一直线的两个平面平行。用符号表示是：a⊥α，a⊥β则α∥β。 （4）平行于同一个平面的两个平面平行。?//?,?//???//? 两个平面平行的性质有五条：

（1）两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面，这个定理可简记

为：“面面平行，则线面平行”。用符号表示是：α∥β，a

α，则a∥β。

（2）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行，这个定理可简记为：“面面平行，则线线平行”。用符号表示是：α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥b。

（3）一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。这个定理可用于证线面垂直。用符号表示是：α∥β，a⊥α，则a⊥β。 （4）夹在两个平行平面间的平行线段相等。

（5）过平面外一点只有一个平面与已知平面平行。

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