导数的性质（教）(2)

∴f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)． 答案：(2，＋∞)

3．函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0，1?设a＝f(0)，b＝f??2?，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为____________．

1

解析：依题意得，当x<1时，f′(x)>0，f(x)为增函数；又f(3)＝f(－1)，且－1<0<<1，

21??1?，c

答案：c

11

，＋∞?上是增函数，则a的取值范围是________． 4．若函数f(x)＝x2＋ax＋在??x?211?1，＋∞?，＋∞?上是增函数，解析：f′(x)＝2x＋a－2，因为函数在?所以f′(x)≥0在?2??2?x1112，＋∞?上恒成立，上恒成立，即a≥2－2x在?设g(x)＝g′(x)＝－－2，令g′(x)2－2x，?2?xxx3112

，＋∞?时，g′(x)<0，故g(x)max＝g??＝4－1＝3，所＝－3－2＝0，得x＝－1，当x∈??2??2?x以a≥3.

答案：[3，＋∞)

5．已知函数f(x)＝x3－ax2－3x.

(1)若f(x)在[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围； (2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间． 解：(1)对f(x)求导，得f′(x)＝3x2－2ax－3. 13

x－?. 由f′(x)≥0，得a≤?2?x?

13

x－?，当x≥1时，t(x)是增函数， 记t(x)＝?2?x?3

∴t(x)min＝(1－1)＝0.∴a≤0.

2(2)由题意，得f′(3)＝0， 即27－6a－3＝0，

∴a＝4.∴f(x)＝x3－4x2－3x， f′(x)＝3x2－8x－3.

1

令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝3.

3

当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表： x ?－∞，－1? 3??1－ 3?－1，3? ?3?3 (3，＋∞) f′(x) f(x) ＋ 0 极大值 － 0 极小值 ＋ 11－∞，－?，[3，＋∞)，f(x)的单调递减区间为?－，3?. ∴f(x)的单调递增区间为?3???3?

第二课时 导数与函数极值、最值

考点一 [典例]

求函数f(x)极值的步骤

(1)确定函数的定义域； (2)求导数f′(x)；

(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；

(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．

考点二 运用导数解决函数的最值问题 运用导数解决函数的极值问题 1

[典例] 设函数f(x)＝aln x－bx2(x>0)，若函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切，

2(1)求实数a，b的值；

1?

(2)求函数f(x)在??e，e?上的最大值． a

解：(1)f′(x)＝－2bx，

x

1

∵函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切，

2f′?1?＝a－2b＝0，a＝1，????∴?解得?1 1

f?1?＝－b＝－，b＝.??2??21－x2121

(2)f(x)＝ln x－x，f′(x)＝－x＝，

2xx11

∵当≤x≤e时，令f′(x)>0得≤x<1；

ee

1?令f′(x)<0，得1

1

f(1)＝－.

2

[类题通法]

求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤

(1)求函数在(a，b)内的极值；

(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；

(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．

考点三 函数极值和最值的综合问题 [类题通法]

求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图像，然后借助图像观察得到函数的最值．

[针对训练]

已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若2

x＝时，y＝f(x)有极值． 3

(1)求a，b，c的值；

(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．

解：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0，

① ②

2?2

当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′??3?＝0，可得4a＋3b＋4＝0， 3由①②，解得a＝2，b＝－4.由于切点的横坐标为1， 所以f(1)＝4.

所以1＋a＋b＋c＝4.所以c＝5.

(2)由(1)，可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，f′(x)＝3x2＋4x－4.令f′(x)＝0，解之，得x1＝－22，x2＝.

3

当x变化时，f′(x)，f(x)的取值及变化情况如下表所示： x f′(x) －3 ＋ (－3，－2) ＋ －2 0 ?－2，2? 3??－ 2 30 ?2，1? ?3?＋ 1 ＋ f(x) 8 13 95 27 4 95所以y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为.

27

[课堂练通考点]

x32

1．函数f(x)＝＋x－3x－4在[0,2]上的最小值是________．

3解析：f′(x)＝x2＋2x－3， 令f′(x)＝0得x＝1(x＝－3舍去)， 1710

又f(0)＝－4，f(1)＝－，f(2)＝－，

3317

故f(x)在[0,2]上的最小值是f(1)＝－.

317

答案：－

3

2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于________． 解析：∵函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，∴f(1)＝10，且f′(1)＝0，

?1＋a＋b＋a2＝10，?a＝－3，?a＝4，???即?解得?或? ???3＋2a＋b＝0，b＝3，b＝－11.?????a＝－3，而当?时，函数在x＝1处无极值，

?b＝3?

故舍去．∴f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，∴f(2)＝18. 答案：18

x4．(2013·镇江12月统考)已知函数f(x)＝(x>0，x≠1)．求函数f(x)的极值；

ln xx

解：(1)函数f(x)＝的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，

ln xln x－1

f′(x)＝2.令f′(x)＝0，解得x＝e.

lnx当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x f′(x) f(x)

由表得函数f(x)的单调减区间为(0,1)和(1，e)，单调增区间为(e，＋∞)．

(0,1) － (1，e) － E 0 极小值f(e) (e，＋∞) ＋ 所以存在极小值为f(e)＝e，无极大值．

1

5．(2014·南通一模)设a为实数，已知函数f(x)＝x3－ax2＋(a2－1)x.

3(1)当a＝1时，求函数f(x)的极值；

1

解：(1)依题有f(x)＝x3－x2，故f′(x)＝x2－2x＝x(x－2)．

3当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x f′(x) f(x) (－∞，0) ＋ 0 0 极大值 (0,2) － 2 0 极小值 (2，＋∞) ＋ 4由上表得f(x)在x＝0时取得极大值f(0)＝0，f(x)在x＝2时取得极小值f(2)＝－.

3

[课下提升考能]

第Ⅰ卷：夯基保分卷

1．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝________. 解析：y′＝2x＋x·2xln 2＝0，∴x＝－

11

. 答案：－ ln 2ln 2

2．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图像不可能为y＝f(x)图像的是________．(填写序号)

解析：因为[f(x)ex]′＝f′(x)ex＋f(x)(ex)′＝[f(x)＋f′(x)]ex，且x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，所以f(－1)＋f′(－1)＝0；④中，f(－1)>0，f′(－1)>0，不满足f′(－1)＋f(－1)＝0. 答案：④

6．已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是________．

解析：f′(x)＝3x2＋2mx＋m＋6＝0有两个不等实根，即Δ＝4m2－12×(m＋6)>0.所以m>6或m<－3. 答案：(－∞，－3)∪(6，＋∞)

7．已知函数y＝f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图像在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f(x)极大值与极小值之差为________．

解析：∵y′＝3x2＋6ax＋3b，

2

???3×2＋6a×2＋3b＝0?a＝－1，??? 2

?3×1＋6a＋3b＝－3???b＝0.

∴y′＝3x2－6x，令3x2－6x＝0，得x＝0或x＝2.

∴f(x)极大值－f(x)极小值＝f(0)－f(2)＝4. 答案：4

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