导数的性质（教）

1．(2014·南通期末)曲线C：y＝xln x在点M(e，e)处的切线方程为__________________．

解析：因为y′＝ln x＋1，故点M(e，e)处的切线的斜率为2，所求切线方程为y＝2x－e. 答案：★y＝2x－e

2．(2014·苏州质检)过坐标原点作函数y＝ln x图像的切线，则切线斜率为________．

11

解析：设切点为(x0，y0)，因为y′＝，所以切线方程为y－y0＝(x－x0)．因为切线过

xx0

11

原点，故y0＝1.又y0＝ln x0，得x0＝e，所以所求斜率为. 答案：★ ee

3．(2014·镇江统考)已知函数y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝2x－1，则函数g(x)＝x2＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程为________．

解析：因为y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝2x－1，所以f′(2)＝2，f(2)＝3.g(2)＝22＋f(2)＝7，即点(2，g(2))为(2,7)，由g(x)＝x2＋f(x)得g′(x)＝2x＋f′(x)，所以g′(2)＝4＋f′(2)＝6，所以g(x)＝x2＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程为y－7＝6(x－2)，即6x－y－5＝0. 答案：★6x－y－5＝0

4．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．

解析：由题知，k＝f′(x)＝3x2－10＝2(x<0)，解得x＝－2，所以y＝(－2)3－10×(－2)＋3＝15，所以点P的坐标为(－2,15)．

答案：★(－2,15)

5．(2014·苏锡常镇二调)在平面直角坐标系xOy中，点P(0,1)在曲线C：y＝x3－x2－ax＋b(a，b为实数)上，已知曲线C在点P处的切线方程为y＝2x＋1，则a＋b＝________.

解析：由P(0,1)在曲线C：y＝x3－x2－ax＋b上，且点P处的切线方程为y＝2x＋1，对

?f?0?＝1，?b＝1，??

曲线C关于x求导得y′＝3x2－2x－a，令y＝f(x)，则?即?解得

??f′?0?＝2，－a＝2，???? a＝－2，

?所以a＋b＝－1. 答案：★－1 ?b＝1，?

ππ?

6．(2014·苏北四市统考)已知曲线f(x)＝xsin x＋1在点??2，2＋1?处的切线与直线ax＋y＋1＝0互相垂直，则实数a＝________.

π?πππ1解析：f′(x)＝sin x＋xcos x，由题意f′?＝sin＋cos＝1＝，所以a＝1. ★1 ?2?222a7．(2013·广东高考)若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________. 11解析：因为y′＝2ax－，依题意得y′|x＝1＝2a－1＝0，所以a＝.

x21

答案：★

2[类题通法]

导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面 (1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)； (2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k；

(3)已知过某点M(x1，f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0))，利f?x1?－f?x0?用k＝求解．

x1－x0

导数的应用

1．函数的单调性

在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0. f′(x)≥0?f(x)在(a，b)上为增函数． f′(x)≤0?f(x)在(a，b)上为减函数． 2．函数的极值 (1)函数的极小值：

函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．

(2)函数的极大值：

函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．

极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 3．函数的最值

(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．

(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．

第一课时 导数与函数单调性

考点一 判断或证明函数的单调性 导数法证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤 (1)求f′(x)；

(2)确认f′(x)在(a，b)内的符号；

(3)作出结论：f′(x)>0时为增函数；f′(x)<0时为减函数． [针对训练]

考点二 求函数的单调区间 [典例] 已知函数f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx.若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；

[解] (1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b， f?1?＝a＋1＝c，??

由已知可得?g?1?＝1＋b＝c，

??2a＝3＋b，

解得a＝b＝3.

[类题通法]

求函数的单调区间的“两个”方法

(1) 方法一：

①确定函数y＝f(x)的定义域； ②求导数y′＝f′(x)；

③解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； ④解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． (2) 方法二：

①确定函数y＝f(x)的定义域；

②求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根； ③把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；

④确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性． [针对训练] 1．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．

解析：由题意知，f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)．令f′(x)<0，得－1

2．(2014·盐城摸底)函数y＝x－ln x，x∈(0，＋∞)的单调减区间为________．

1x－1

解析：y′＝1－＝，令y′<0得0

xx★(0,1)

(2013·苏北四市三调)已知函数f(x)＝x2－4x＋(2－a)ln x，a∈R. 当a＝8时，求函数f(x)的单调区间；

62?x＋1??x－3?

解：当a＝8时，f(x)＝x2－4x－6ln x，f′(x)＝2x－4－＝.

xx由题意可知x>0，

由f′(x)>0得x>3.所以函数f(x)的单调递增区间是(3，＋∞)； 由f′(x)<0得0

综上所述，函数f(x)的单调递增区间是(3，＋∞)，单调递减区间是(0,3)．

考点三 已知函数的单调性求参数的范围 [典例] (2014·苏中三市、宿迁调研)已知函数f(x)＝(m－3)x3＋9x. (1)若函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是单调函数，求实数m的取值范围； [解] (1)因为f′(0)＝9>0，所以f(x)在区间(－∞，＋∞)上是单调增函数． 因为f′(x)＝3(m－3)x2＋9≥0在区间(－∞，＋∞)上恒成立，所以m≥3. 故实数m的取值范围是[3，＋∞)．

[类题通法]

已知函数单调性，求参数范围的两个方法

(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．

(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”来求解．

提醒：f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．

[课堂练通考点]

1．函数f(x)＝ex－x的单调递增区间是________．

解析：∵f(x)＝ex－x，∴f′(x)＝ex－1，

由f′(x)>0，得ex－1>0，即x>0. 答案：(0，＋∞)

m

2．(2014·扬州期末)已知函数f(x)＝ln x－(m∈R)在区间[1，e]上取得最小值4，则m＝

x________.

解析：因为f(x)在区间[1，e]上取得最小值4，所以至少满足f(1)≥4，f(e)≥4，解得m≤x＋m

－3e.又f′(x)＝2，且x∈[1，e]，所以f′(x)<0, 即f(x)在[1，e]上单调递减，所以f(x)min

xm

＝f(e)＝1－＝4，即m＝－3e.

e

答案：－3e

3．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调增函数，则m的取值范围是________． 解析：∵f(x)＝x3＋x2＋mx＋1，∴f′(x)＝3x2＋2x＋m. 1

又∵f(x)在R上是单调增函数，∴Δ＝4－12 m≤0，即m≥.

31?★??3，＋∞?

2?4.?创新题?已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝f′??3?. (1)求a的值； (2)求函数f(x)的单调区间； 解：(1)由f(x)＝x3＋ax2－x＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax－1.

2?2?2?2＋2a×?2?－1，解之，得a＝－1. 当x＝时，得a＝f′?＝3×?3??3??3?3(2)由(1)可知f(x)＝x3－x2－x＋c. 1

x＋?(x－1)， 则f′(x)＝3x2－2x－1＝3??3?

1

－∞，－?和(1，＋∞)； 所以f(x)的单调递增区间是?3??1

－，1?. f(x)的单调递减区间是??3?

[课下提升考能]

第Ⅰ卷：夯基保分卷

1．函数f(x)＝x＋eln x的单调递增区间为________．

e

解析：函数定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋>0，故单调增区间是(0，＋∞)．

x答案：(0，＋∞)

2．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是________． 解析：∵f(x)＝(x－3)·ex，f′(x)＝ex(x－2)>0，∴x>2.

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