衢州二中2011学年高二理科数学阶段测试(2)

20．解：（1）设M(?,?)为圆上任意一点，

在?OMC中,?MOC?|???4|,|MC|?1,|MO|??,|OC|?2,

由余弦定理得：12??2?(2)2?22?cos(??即?2?22?cos(???4?4),

)?1?0，即为圆C的极坐标方程．

（2）圆C的普通方程为(x?1)2?(y?1)2?1,

将直线l的参数方程代入上述圆方程化简得：

t?2(sin??cos?)t?1?0,由直线参数方程的几何意义得：

2|PA|?|PB|?2|sin??cos?|,|PA|?|PB|?1，

故

|PA|?|PB||PA||PB|?12|sin??cos?||PA|?|PB|?122|sin(??24.

?4，

)|由??[0,?3],得|PA|?|PB|的最小值为21．解：（1）如图，建立平面直角坐标系，则D(?1,0)弦EF所在的直线方程为y?x?1

设椭圆方程为

xa22?yb22?1,(a?b?0)，设E(x1,y1),F(x2,y2)，

2由DF?2ED知：y1?y2??y1且y1y2??2y1，

2?x2y??1?联立方程组?a2b2 ，消去x得：(a2?b2)y2?2b2y?b2?a2b2?0

?y?x?1? 由题意知：a?1，

???4b?4(a?b)(b?ab)?4b(b?(a?b)(1?a))?0

42222222222 由韦达定理知：y1?y2?消去y1得：

22b22222a?b2??y1，y1y2?2b?aba?b222222??2y1 a(a?1)9?a22b?aba?b222222??2(2b22a?b2)，化简整理得：b?222

?0?b?a ?0?a(a?1)9?a2?a解得：1?a?5

?2?2a?25 即：椭圆的长轴长的取值范围为(2,25)．

22（2）若D为椭圆的焦点，则c?1，?b?a?1

由（1）知：b?2a(a?1)9?ax2222?a?1 ?a?9?a ?a?2222292,b?272

?椭圆方程为：

92?y72?1．

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22．解：（1）设切线方程为y?kx?m，与圆相切得m1?k2?1得m?k?1，

22?x2?4y又联立方程组得? 消去y得，x2?4kx?4m?0，

?y?kx?m设点A(x1,y1),B(x2,y2)，所以，x1?x2?4k,x1x2??4m，

????????由OA?OB知OA?OB?0得x1x2?y1y2?0，从而x1x2??16，则m?4,k??15，

故切线方程为y??15x?4； （2）设P(a,a24a)(a?2)，过P点圆的切线方程为y?2a24?k(x?a)，

2则C(a?4k1,0),D(a?a24k2,0)，由中点坐标公式得，2a?a(k1?k24k1k1)??815 （*）

ka?a2又由

42?1整理得，(a?1)k?a23422a31?k2k?a416?1?0，

所以 k1?k2?2(a?1)，k1k2?a?1616(a?1)2，

带入（*）式，整理得a4?60a?16?0

即(a?4)(a3?4a3?16a?4)?0，因为a?2，所以a3?4a3?16a?4?0， 则a?4?0，即a?4，故点P的坐标为(4,4)．

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