近世代数中的反例（修订）(2)

所以R?(M2(F),?,?)不是交换环，当n?2时，(AB)2?A2B2．

我们知道某些定理结论的成立是需要一定特殊条件的，而通过上面的例子，很容易就能证明这一点，这就提醒我们在学习定理是要对定理成立的条件引起足够的重视．

1.4构造反例，区分相近概念与性质

近世代数课程中，一些概念、性质较类似，初学者容易混淆．如，同构映射与同态映射、群(环)的同构与同态、群的阶与元素的阶、置换群与变换群、零理想与单位理想等概念，这些容易模糊、混淆的概念、性质，可以通过例子(反例)加以说明，使之区别开来．因此，构造反例是区别相近概念、性质很好的方法．

例5：设群G与群G的代数运算分别是?与 ?．

如果存在满射?:G?G，使?a、b?G都有?（a?b）=?(a)??(b)．则称?是群同态满射，并称群G与群G是同态的．

如果存在双射?:G?G，使?a、b?G都有?（a?b）=?(a)??(b)，则称?是群同构映射，并称群G与群G是同构的．

群G与群G同态或同构的区别在于它们之间存在一个保运算的满射还是保运算的双射．为了便于理解，举一些反例让学生加以区别．

反例：1)设模2的剩余类加群Z2?{[0],[1]}及二次单位根群U2?{?1,1}作映射：?:Z2?U2，[0]?1，[1]??1，则?是Z2到U2的同构映射，从而Z2与U2是同构的；

2)设G是正有理数乘群，G为整数加群．注意，任一个正有理数都可以表为2nba 的形式(a与b是互素的奇数，2为整数)．作映射??2n??b?则???n，

a?是Z2到U2的同态满射，从而Z2与U2是同态．但?不是单射，从而不是同构映射．

2构造反例的方法

构造反例，就是举出一个实例，说明命题不成立，或从矛盾方面说明概念的实质等．因此我们在利用反例否定一个命题的时候，要研究好这个命题所包含的条件是什么，以及有什么样的结论．在文献[2] 中，作者给出了构造反例的否逆构造法、逆向构造法、顺向构造法等方法．下面举出实例加以说明．

2.1否逆构造法

否逆构造法即否定结论，然后寻求否定后的结论成立的条件，且该条件满足原命题的要求，再通过条件构造反例．

5

例６：我们知道，当H是子群时，有HH?H．但其反命题：当HH?H时，有H是子群．（反命题不成立）

分析：要否定这个反命题，先否定它的结论，即找一个集合H，但它不是群，并且要求有HH?H．找到这样一个集合，便可以否定这个错误的命题．

反例：设H所以奇数构成的集合，显然有HH?H，而奇数是所有自然数的子集，而自然数集是群，但是H却不是群，因为H中出1外都没有逆元．

2.2逆向构造法

逆向构造发同样从结论入手，推到结论成立的条件，再构造一个不符合此条件的例子即得到反例．

例７：对于命题“阶是素数的群一定是循环群．”其反命题为“循环群的阶一定是素数．”．

分析：先确定这个反命题的条件是要满足群是一个循环群，而它想得到的结论是这个群的阶是素数，那么我们在否定这个命题时就可以找一个循环群而它的阶是偶数．

反例：设S6?(a)?{e,a,a2,a3,a4,a5}，显然S6是一个循环群，而S6的阶为6阶，是一个偶数，即反命题错误．

2.3顺向构造法

根据否定性原则，从“符合条件”入手，继而考虑“否定结论”，再构造反例，即顺向构造法．

例８：否定命题“群G的两个子群的并集也是子群”

分析：举例应该符合要求：①作群G及两个子群H、S；②并集H?S不是子群．

反例：[2]S?{(1),(12)}，H?{(1),(13)}是3次对称群

S3?{(1),(12),(13),(23),(123),(132)}

的两个子群，但H?S?{(1),(12),(13)}不是S3的子群，因为(12)(13)?(132)?H， 从而得到有H不是S3的子群．

3近世代数中的几个典型反例

例7：群是近世代数中的基础，因此常会遇到判断一个集合是否为群的问题，这里我们就利用一个群和一个同态关系来判断另一个集合是否也是群．

设G是一个群，G是一个有代数运算的集合，如果G~G，则G也是一个

6

群．（正确命题）

有G~G，若G是一个群，则G也是一个群．（错误命题）．

反例：设G?{所有奇数}，代数运算为普通乘法，G?{e}，对于乘法e?e?e来说构成一个群，令?：a?e，显然G到G的一个同态满射，故有G~G，G是群，但G却不是群．因为G中除1外对于任意的元素都不存在逆元．

反例：[2]G?{n|n是不能被3整除的整数}，G?{?1,1}，运算都是普通数的乘法，

?1,?（n）=???1,n被3除余数为1n被3除余数为2，

则?是G到G的同态满射，从而G与G同态，但G是群而G不是群（有些元素没有逆元）．

通过上面的两个反例，我们可以正确理解结论：G是群?G是群，而不是G是群?G是群．这里我们在分析时还发现这两个集合满足的关系式比较强的，即要求为满同态．但是我们在学习时往往会不自觉的降低了它条件要求考虑成以下命题，那么这个命题到底是否正确？

设G是一个群，G是一个有代数运算的集合，如果G与G同态，则G也是一个群．（该命题错误，反例如下．）

x反例：有G?{R,?}，显然G是一个群，令?:G?G为?(x)?e，}，G?{R,?有?不是满射，对?x,y?R，

?(x?y)?ex?y?e?e??(x)??(y)，

xy得到G与G同态，但是G却不是群，因为G中0没有逆元．

综合上面的例子我们看到，在理利用同态关系推一个集合是否为群时，必须要满足是满同态，而且还不能互推，这就留个我们一个思考，那么什么情况下能互推？在文献[3]给出了这样的结论：若G与G个各有一个代数运算的代数系统，且G?G，则当G与G中有一个是群时令一个必然也是群．

例8：Lagrange定理把群的阶和子群的阶联系起来，为判断一个群的子群提供了很好的方法．但是初学者常常会认为，只要一个群的阶有因数m，则这个群就一定有以m为阶的子群或者认为只要群H的阶数是群G的阶数的因数，就有

H为G的子群．同过反例的研究就可以避免犯这种错误． 一个有限G群的子群H的阶能整除G的阶．（正确命题）

若G的阶为n，如果有m|n，那么群G有以m为阶的子群．（错误命题）

7

若G的阶为n，H的阶为m，m|n，则H为G的子群．（错误命题） 反例：[1]A4是交代群，A4的阶为12，而6|12，但A4没有以6为阶的子群． 反例：S6?(a)?{e,a,a2,a3,a4,a5}，S6?6，a4?3，3|6，但是H?(a4)不是S6的子群．因为对?b?H不存在b?1?H．

通过上面的两个反例，能让我们更加清楚的分清群、子群、群的阶及子群的阶的关系，从而在证明子群和求子群的时候能更加清楚明白认识到lagrange定理是一个必要条件而不是从分条件．

例9：在学习陪集的时候知道，左陪集和右陪集一般是不相等的，但是若群是交换群则就相等，这就容易产生一种想法：那么当左陪集和右陪集相等时，这个群是不是就是交换群了喃？这里就通过两个实际的反例来否定这种想法．

若G是交换群，H?G时有Ha?aH．（正确命题） 有H?G，若Ha?aH，则G是交换群．（错误命题）

反例：设S3?{(1),(12),(13),(23),(123),(132)}，H?{(1)}，对任意的a?H，总有Ha?aH，但是存在(13)?S3，(23)?S3，使得(13)(23)?(23)(13)，

故有S3不是交换群．

通过上面的反例我们知道，交换群的左右陪集相等，为左右陪集相等时群却不一定是交换群．

例10：在学习了子群之后我们知道子群是具有传递性的，而在其后学习的正规子群和理想就容易让人产生联想，是否他们也具有传递性，这里通过下面的两个反例来给出说明．

对于子群有命题：N?H,H?G?N?G；（命题正确） 对于正规子群命题：N?H,H?G?N?G；(命题错误) 同样的对于理想：N?H,H?G?N?G．(命题错误) 反例：[1]设有S4 ，K4?{(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}，

B4?{(1),(14)(23)}，

易知K4是S4的子群，B4是K4的子群，并且K4是S4的正规子群．因为K4是阶为4的群，所以为交换群，故其子群B4是正规子群．

但B4却不是S4的正规子群，因为

(34)[(14)(23)](34)?(13)(24)?B4．

?1反例：

[3]

???x 设 R??????z?y??x,y,z,w?Z??M2?Z?w????，

8

???a1N?????a3????2a1I?????a3??a2??a?2Z??R?ia4???， ，

*??中， *??a2???ai?2Z??Na4????2a1但是??a3a2??x??a4??zy??2a1x?za2???w??*不能保证2a1x?za2是4的除数，所以I未必是R的理想．

通过上面的两个反例，我们清楚的认识到正规子群和理想是不具有传递性的，从而加深了我们对子群传递性的理解．

例11：在学习环的理想时讲到这样一个特殊的性质，除环只有平凡理想．除环是一类特殊的环，而平凡理想也是特殊的理想，那么这两个特殊的概念放到一起时能不能互推，就用下面的反例来说明这个问题．

除环只有平凡理想．（正确命题） 只有平凡理想的环是除环．（错误命题）

[2]

反例：Q2?2??????a11???a21?a12??a是有理数??ija22???，我们说Q2?2只是零理想同单位理想．

a12??0???a22??00??a11???0??01??0???0??0设N是Q2?2的一个理想， N?0，N??an?0，那么

?a11?a210??，不失一般性假设0??1??0?0??10??a11??0??a210??a11??0??a21a12??1??a22??0a12??0??a22??00???N， 0?0???N， a11??a11易知??00???N， a11??1?a11??00??a11?1??a11??00??1???a11??0?1?22??4?0???N， 1?所以N?Q2?2，但Q2?2不是除环，因为?没有逆．

除环只有平凡理想，而只有平凡理想的环却不是除环．排除了我们想当然的以为可以的逆推，从而对除环和平凡理想的概念都有更清晰的理解．

9

结束语

近似代数具有内容抽象的特点，而通过反例的运用，能促进对近世代数中易错概念、性质的理解和掌握，并能培养学生的发散思维和提高学生的逻辑思维能力，这反应了反例的运用在抽象的近世代数的学习中有不容忽视的地位和作用．

参考文献

[1] 胡崇慧．代数中的反例[M]．陕西：陕西科技技术出版社，1983

[2] 徐为坚．近世代数反例的作用和构造方法[J]．玉林师范学院院报（自然科

学），2010．31(2):2-6

[3] 徐德余等．近世代数[M]．成都：四川大学出版社，2006．9

[4] 黄影．浅谈如何提高近世代数的教学质量[J]．沈阳：沈阳师范大学学报（自

然科学），2010．28(4):568-570

[5] 陈秀红．反例及反正法在线性代数中的作用[J]．邵乌达蒙族师专报，

2003．24(2):9-10

[6] 占莹．试论反例的功能与构造[J]． SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION，

2008．14:597-598

[7] 刘江蓉．用构造思想锻炼学生的创造性思维[J]．高等函授学报(自然科学

版)，2010．23(3):6-8

10

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库近世代数中的反例（修订）(2)在线全文阅读。