近世代数中的反例（修订）

数学与信息科学学院

本 科 学 年 论 文

课 题 近世代数中的反例 专 业 数学与应用数学 指导教师 刘 熠 班 级 2008级3班 姓 名 彭 杰 学 号 20080241141

2011年5月28

目 录

摘 要.......................................................................................................................... 2 关键词.......................................................................................................................... 2 0引言 ........................................................................................................................... 3 1反例的作用 ............................................................................................................. 3

1．1构造反例，正确理解概念，否定猜想........................................................ 3 1．2构造反例，化抽象为具体............................................................................ 4 1．3构造反例，重视定理形成的条件，正确理解结论.................................... 4 1．4构造反例，区分相近概念与性质................................................................ 5

2构造反例的方法 ................................................................................................... 5

2．1否逆构造法.................................................................................................... 5 2．2逆向构造法.................................................................................................... 6 2．3顺向构造法.................................................................................................... 6

3近世代数中的几个典型反例 ............................................................................ 6 结束语........................................................................................................................ 10 参考文献 ................................................................................................................... 10

1

近世代数中的反例

摘 要：针对近世代数内容抽象，定理和性质易混淆错误的特点，通过分

析反例在近世代数中的作用和构造反例的方法，并结合近世代数中典型问题的实例研究，来加深对近世代数中易错概念、性质的理解和掌握，并由此提高学生分析问题解决问题的能力．

关键词：近世代数；反例；反例的构造；反例的引用

A Brief Analysis of Counter-example in Modern Algebra

Abstract: For the characteristics of the modern algebra that the content is abstract，the theories and the natures are easily-mixed，though the analysis of the function of counter example in modern algebra and the method of forming counter example，combining the study of typical problems in modern algebra，we can have a better understanding as well as master the easily-mixed conceptions and natures of modern algebra．By doing so the students' ability to analyze and solve can be improved.

Key words: Ethical algebra; Counterexample; Counterexample tectonic;

Counterexample reference

2

0引言

对于数学命题，证明与构造反例是两种不同的“论证”方法，具有同样的说服力，前者是肯定命题，后者是否定命题．正如美国数学家B．R．盖尔鲍姆所说：“数学由两大类——证明和反例组成，而数学也是朝着这两个目标——提出问题和构造反例而发展．”而对于近世代数，学会构造反例并从反例中加深对概念、性质的理解和掌握，是学好近世代数的一个非常有用的方法．近世代数课程理论性强、内容抽象，学习起来有一定的困难，特别是对一些概念的理解、性质的运用容易出现偏差，因此反例对理解概念、掌握性质等，提高同学们分析问题、解决问题的能力有着重要的作用．

文献中，作者运用反例，给出了近世代数中许多定理、性质的近似命题或逆命题的否定．从而加深了对原命题的理解和掌握．

文献[2][4]中，作者介绍了构造反例在近世代数中的作用，并给出了构造反例的思维原则及构造反例的常用方法，为构造近世代数中的反例指引了方向，为进一步学习近世代数打下了基础．

[1]

1反例的作用

如果要断定一个命题为假，只需找出一个适合条件而结论不真的例子就可以了，所以反例的举出是一个创造性的过程．它是我们理解、深化知识，辨析正误，培养思维能力的有效工具．

1.1构造反例，正确理解概念，否定猜想

近视代数中有很多性质和定理，在学习过程中不免会让人有猜测，它的逆命题或者否命题是否正确．然而近世代数中大多数性质和定理的逆命题或者否命题都是错误的，如果此时我们能给出一个实际的反例，来否定这些猜想，将会对我们正确的理解概念起到重要的作用．

例1：我们在学习直积时有A?B?{(a,b)|a?A,b?B}，这容易使我们想到在经典代数中关于乘法的交换律A?B?B?A，那么直积是不是也有这个性质？

反例：设有两个集合，A?{1,2}，B?{3,4}，根据直积的运算

A?B?{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}， B?A?{(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}，

显然有A?B?B?A．

从上面的反例1我们就能很清楚的知道，直积是不具有交换律的．

3

例2：[1]对于命题“交换群的子群是交换群”是正确的，而其否命题“非交换群的子群都是非交换群”却是错误的．

反例：S3?{(1),(12),(13),(23),(123),(132)}是一个非交换群，H?{(1),(12)}是

S3的一个子群，但H是交换群．

同样的我们还能得到一个非循环群S3有一个子群H?{(1),(12)}?[(12)]是循环群．

1.2构造反例，化抽象为具体

性质和概念常常是以文字语言所描述的，判断其正误的时候都有一定的抽象性，因此反例此时能起到简化思想，化抽象为具体的作用．

例3：1)“环R有单位元，子环S有单位元”．（命题错误）

反例：R是整数环Z，有单位元1，而子环S是偶数环，没有单位元． 2)“环R无单位元，子环S无单位元”．（命题错误） 反例：[1]设R??????0???a?0??a,b是整数??b????a?00???Rb?，A??，B???c?00???Rd?，

?a加法：A?B???00??c?+?b??00??c??b??00??a+b?=?d??00??ac?=?d??00??0?0??， b+d?乘法：AB???a?0，

容易验证R是环，R显然没有单位元．

而S=????a?0??0??a是整数0???是R??的子环，子环S有单位元??1?00??． 0?1.3构造反例，重视定理形成的条件，正确理解结论

在学习数学定理时， 普遍存在一个问题， 就是只去注意定理的结论， 而忽略了定理成立的条件．通过缺少某些条件的反例，来否定命题的结论，就能引起对定理形成的条件的重视，而正确的理解结论．

例4：在学习环的性质时有：若R是交换环，则?a,b?R，有?n?N，

?ab?n?abnn．当把条件“R是交换环”去掉，即对任意的环而言，该命题是错

?1?00???R2??1?22???R1?误的．

反例：设环R?(M2(F),?,?)，A??因为

?1AB???00??1??2??22??1???1??42??1???2??24??1???2??22??1??1??00???BA， 2?，B??，

4

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