理论力学题库第一章(7)

图6-1

解 将M点与地面的接触时的位置作为直角坐标系的

原点O , 并建立直角坐标系如图所示, 经过时间t, M 点的坐标为: x = ut -

Rsinφ

y = R - Rcosφ

因轮纯滚动, 线段O D 与弧长D M 相等,

??DMut?RR整理后得运动方程为 x?ut?Rsinut Ruty?R?cosRR?y R.即M 点的轨迹为旋轮线(或摆线) , 速度在x , y 轴上的投影、大小及方向余弦

从运动方程中消去时间t 后, 得轨迹方程为: x?y?2R?y??Rarccos??u?ucosvx?x??usinvy?yutRutR22分别为v?vx?vy?2usinut2R

vxut??sin?sinv2R2vyut?cos???cos?cosv2R2cos??M 点的加速度在x , y 轴上的投影、大小及方向余弦分别为

u2ut?x????ax?vxsinRRu2ut?y????ay?vycosRRu222a?ax?ay?

Rautcos???x?sin?sin?aRayutcos????cos?cos?aR即各点加速度指向轮心

u2v2ut又a?a??a?,an?,而a??v,由此可求得: ??4Rsin

RR?22n23.证明：质量为m的质量从圆的最高点O由静止开始沿任一条光滑弦下滑到圆周上所需的时间相同。

证明：考虑质点在任意一条与过圆心的铅垂线夹角为

的弦上的运动，则在任意

位置的受力如图所示。沿弦的方向用质点动力学基本方程得

质点加速度 a?gcos?，即质点作匀加速运动。考虑到初始条件，不难求得其运动方程为

s?1212at?gtcos? 22又弦长（从圆顶点滑到圆周上的路程）为

s?2rcos? 质量为m的质量从圆的最高点O由静止开始沿任一条光滑弦下滑到圆周上所需的时间 t?2s?a4rcos??gcos?4r，与?无关，故质量为m的质量从圆的最高点Og由静止开始沿任一条光滑弦下滑到圆周上所需的时间相同。证毕。

重为P的小球位于半径为r的光滑球面顶点，小球从静止开始下滑，求小球脱离球面的位置。

解：小球运动过程中受力为重力和支持力，只有重力作功，机械能守恒。 设球面顶点处为零势能面 由机械能守恒定律有0?1P2?v?P(r?rcos?) 2g故v2?2gr(1?cos?).............(1)

Pv2小球在法向方向运动微分方程为??Pcos??N

gr小球脱离球面时N=0，所以有v2?grcos?.................(2) （1）代入（2）式有grcos??2gr(1?cos?)

22,??arccos?48011? 33r?h2r? （h为自球面顶点起下降高度）得h? 又由几何关系知cos??r33讨论：由以上结论知小球脱离球面位置与小球（质量）无关，当球面不光滑时与小球（质量）有关。

整理有cos??

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