理论力学题库第一章(6)

??VF???x?2y?z?5.............(1)?x?x??V?F???2x?y?z.............(2) ?y?y??F???V?x?y?z?6..............(3)z??z?x2?2xy?xz?5x?f?y,z?????4? 积分（1）式得V??2（4）式对y偏微分=（2）式得积分得f(y,z)???V?f?y???2x???2x?y?z ?y?y12y?zy?g(z)????5? 2x2y2?2xy?xz?5x?yz?g(z)????6? 代（5）入（4）得V???22（6）式对z偏微分=（3）式得

?V?g?z???x?y???x?y?z?6

?z?zz2 积分得g?z????6z?c????7?

2x2y212?z?2xy?xz?5x?yz?6z?c????6? 代（7）入（6）得V???222取x?0,y?0,z?0,V?0 则c?0得势能函数为

x2y212V????z?2xy?xz?5x?yz?6z????6?

222又由x?cos?,y?sin?,z?7?知当??0时x?1,y?0,z?0；

??2?时x?1,y?0,z?14? 则由保守力与功的关系可知

W??(V2?V1)?V1?V2121212111x?y?z?2xy?xz?5x?yz?6z)(1,0,0)?(?x2?y2?z2?2xy?xz?5x?yz?6z)(1,0,14?)22222211111?(??5)????(14?)2?14??5?84?????5??98?2?14??5?84??98?2?70?22222?(?18.一划平面曲线的点，其速度在y轴上的投影于任何时刻均为常数c，试证明

v3在此情形下，加速度的量值可用下式表示a?

c??2?y?2?x?2?c2..........证明1：由v2?x.......(1) （1）式求导得vdv??a） ?????ax? （因y??c,???0，故?x?xxydt?av2?c2dvax??........... 由此得出dtvv?v2??dv?2222?....(3) 又a?????a?an?a????..........dt?????22a2(v2?c2)v222（2）=（3）得?a?() 2?vv3整理得a? 结论得证

c?证明2：

????c,???0，故有a?axi 如图设v与y轴夹角为α，则由yyv2由图示几何关系知an?acos?? 即a?.............(1)

??cos?c.(2) 又vy?vcos??c 则有cos??..........vv2v3（2）代入（1）得a? 结论得证

c?

?19、船得一初速v0 ，在运动中受到水的阻力，阻力的大小与船速的平方成正比，而比例系数为km，其中m为船的质量。问经历多长时间船速减为其初速的一半。（15分） 解：由题意知 阻力为f?kmv2 则船的运动方程为mdvdv??kmv2 即 2??kdt dtvv0tv0?22而t?0时v?v0 设船经历时间为t时，v? 积分上式得 ?vdv??k?dt 即

v002?21???????kt ?v0v0?从而得t?1 kv020.质点M在力X?Psin?t的作用下沿x轴作直线运动，在初瞬时t?0,v?v0，

x?x0。 求质点的运动方程。

??F?X?Psi?nt 积分 解：由mvm(v?v0)?P?vv0mdv??Psin?tdt ，得

0t???v?v0?(1?co?st) 即 xP(1?cos?t) 积分 m?xt?PPP?)t?sin?t ?dx??0?v0?(1?cos?t)?dt 得x?x0?(v0?2x00m?m?m????x??点在xy平面内运动，当0≤x≤4时，点的轨迹为y?3?1?cos?，当x＞4时，

4??轨迹为水21.平线（如图示）。点的x坐标按规律x?t3?3t变化，式中x以毫米计，t以秒计。求当t=2秒时，点的位置、速度和加速度。

?x?????解：当t=2秒时, x?t3?3t?8?6?2mm，y?3?1?cos??3?1?cos??3mm

4??2?????所以点的位置坐标为 r?2i?3j?mm?

??x????3t2?3?9mm,y??3sin?x??3sin?9?21.2mm 又 xss4442???故速度为v?9i?21.2jmms

?????????6t?12mm2 xs??3???x3??x3??x3????cos???????x?xsin??xsin??x?sin?12?28.3mm2

s444444442???所以加速度为：a?12i?28.3jmm2

s22、质量m=g kg的质点，在不均匀的介质中作水平曲线运动，阻力大小按规律???y????2v2gF?变化，其中vo 速度，s为经过的路程，g为重力加速度。设t=0时，

3?sv0?5m,s0?0，求质点经过的路程与时间的关系。

sd2s2v2g解：质点运动微分方程在切线方向的投影式为：m2?? 由于m=g kg

3?sdtd2s2v2d2sdvdvdsdvdv2v?????v代入上式得所以有2?? 由于2? ds3?s3?sdtdsdtdsdtdtdv2ds2d?3?s?????

v3?s3?svdvsd?3?s???2?积分得? 即lnv?ln5??2?ln?3?s??ln3? 5v03?s分离变量

v3?sv?3?s?或ln??2ln 同取以e为底的对数 ???535?3??2?9?3?s?2

因此得v?s45?3?s?22 或

tds452 分离变量???3?sd?3?s??45dt

dt?3?s?21?3?s?3?9?45t 3积分??3?s?d?3?s???45dt 即

00?3?s?3?135t?27?27?5t?1? 开立方得3?s?335t?1

故s?335t?1?1

已知点的运动方程, 求其轨迹方程, 并自起始位置计算弧长, 求出点沿轨迹的运动规律. (1) x=4t-2t2 , y=3t–1.5t2 (2) x=5cos5t2 , y=5sin5t2 (3) x=4cos2t, y=3sin2t

解（1）由x=4t-2t2 , y=3t–1.5t2??.（1） 两式相除得

x4?2t8?4t4(2?t)4???? y3?1.5t6?3t3(2?t)33x是一直线方程 4??所以轨迹方程为y?得

??4?4t?4(1?t),y??3?3t?3(1?t).........x...(2)

????4.????3..........xy............(3)?2?y?2?16(1?t)2?9(1?t)2?5(1?t) 所以速度为v?x?2???2?16?9?5 xy全加速度为a??dv??5，法线加速度an?a2?a?2?0 dt由此说明质点作匀减速直线运动。

（2） 由x=5cos5t2 , y=5sin5t2??.（1）

而切线加速度为a??得轨迹方程为x2?y2?25是一圆的方程，其半径R=5 由（1）式得

???50tsin5t2,y??50tcos5t2.........(x2)

?2?y?2?2500t2(sin25t2?cos25t2)?50t..........(3) 所以速度为v?x切线加速度为a??dv?50 说明质点作匀加速圆周运动 dt2500t2法线加速度为an???500t2

?5?2???2?2500?250000t4?501?100t4 xy全加速度为a??v2

（3） 由x=4cos2t, y=3sin2t??.（1）

x2y2??1为一椭圆方程 得轨迹方程为

169???8sin2t,y??6cos2t.......(x2)由（1）式得

????16cos2t,????12sin2t......(xy3)所以速度为

v??2?y?2?64sin22t?36cos22t?216sin22t?9cos22t..........x(3)

全加速度为

a???2???2?(?16cos2t)2?(?12sin2t)2?416cos22t?9sin22t.......(xy4)

如图6 -1 所示, 半径为R 的车轮在直线轨道上滚动而不滑动, 已知轮心C 的速度是常量u , 求轮缘上一点M 的轨迹, 速度和加速度及轨迹的曲率半径.

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