矩阵的逆的研究及应用(2)

故A可逆，而且A?1?21?A?3E?。 101 ?A?E??A?4E??E。

6又由A?3A?10E?0，得到?A?E??A?4E??6E，即故A?4E可逆，而且?A?4E?

?1?1?A?E?。 63.2 公式法

定理3 n阶方阵A可逆的充分必要条件是A非奇异矩阵，而且

?A21?A11?12A?1?A*?AA????A1n?10?1????1例2.已知A?020，求A

?????305??解：由题可解得

A21?A22?A2nAn1??An2??.

????Ann?A?4?0

所以A可逆，且

?1002??

A*??020????602??故

?52012?A?A?1???0120?? A??32012??*经检验

AA?1?E

3.3 初等变换法

定义4 一个矩阵的行(列)初等变换是指矩阵施行的下列变换： (1)交换矩阵的某两行(列);

6

(2)用一个非零的数乘矩阵的某一行(列)，即用非零的数乘矩阵的某一行(列)的每一个元素；

(3)给矩阵的某一行(列)乘以一个数后加到另一行(列)上，即用某一个数乘矩阵某一行(列)的每一个元素后加到另一行(列)上的对应元素上。

定义5 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。 (1)初等行变换

如果n阶方阵A可逆，作一个n?2n的矩阵?A,E?，然后对此矩阵进行初等行变换，使矩阵A化为单位矩阵E，则同时E就化为A了，即?A,E?经过初等行变换变为

?1?E,A?。

?1?11?1???的逆矩阵。

0例 用初等行变换求矩阵A?21????1?10??解：

?1?A,E????2??1?1 ???0??0所以

?1100??1?010 010?????10001????001-110??1?0-12 -210????0-33-21????011-1?201000?2 -210??1-101??

001313?0 013-23??1-123-13???11?01313??。

A?1=?013-23????-123-13??(2)初等列变换

如果n阶方阵A可逆，作一个2n?n的矩阵??A??，然后对此矩阵进行初等列变换，使E???E??A?矩阵A化为单位矩阵E，则同时E就化为A了，即??经过初等行变换变为?-1?。

?E??A??17

?11?1???的逆矩阵。

0例 用初等列变换求矩阵A?21????1?10??解：

0?1??11?1??1?210??0?10?????A??1?10??32?10?????????E1001200???????010???110?????001?101????

?101100?????01??0?010?????0?132??001? ??????001201313?????01?1??013?23?????10?1?123?13????所以

?01313??

A?1=?013-23????-123-13??

3.4 分块矩阵法

分块对角矩阵求逆：对于分块对角（或次对角）矩阵求逆可套用公式

?A1?????A2?A1?1???????????AS????1?1A2?1??? ???1?AS??A1?1??? ??????A2?????ASA1?????1A2????????1????AS其中Ai?i?1,2,?,s?均为可逆矩阵。

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?005?002例：已知A=??1-20??110解：将A分块如下：

2?1??，求A-1 0??0??00?52??00?21????OA=???????=????A21-2?00????11?00??其中A1=?而

A1? ?O??52??1-2?，A= 2????21??11??1?2?-1111?12?**A=A1???,A2=detAA2?3??11?

?25detA1????2-11从而

?OA1-1=??1?A1?00?1323??00??1313??A2?1??????????? O???1?2?00???00???25??

四 矩阵的逆的应用

无论是矩阵的逆的性质还是矩阵的逆的求法，都是数学领域中的一个研究方向。接下来我们将分析矩阵的逆的应用，探索矩阵的逆的巨大作用。

4.1 在解线性方程组的应用

求解线性方程组是数学中的一大热点，也是难点。

给定方程组

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?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn2?????an1x1?an2x2???annxn?bn (7)

把给定的线性方程组的系数按n行n列排成数表，称为n?n矩阵，记作：

?a11a12?a1n??a?a?a21222n?A?????????aa?ann? ?n1n2 为了利用矩阵乘积的性质，我们把线性方程组?7?式中的系数项、变量项、常数项以矩阵的形式表示出来：

?b1??x1??a11a12?a1n??b??x??a?a?a222n?B??2?A??21X??2??????????????????aa?ax?bn? nn??n1n2?n?

矩阵方程AX?B在形式上与最简单的代数方程ax?b非常类似，分析代数方程

ax?b的求解过程，对于求解矩阵方程会有很大的帮助。

当a?0时，存在着a的倒数a?1?1?1a也可以叫做a的逆元素?，以a?1乘方程?aax?b的两端。由于aa?1?a?1a?1，所以得到方程的解：x?a?1b。

如果对n阶方阵A也定义它的逆方阵A，使之满足AA?AA?E，那么，用A乘矩阵方程AX?B的两端就得到方程的解X?AB。

那么，只要求出系数矩阵A的逆方阵A，线性方程组?7?的解也就出来了。根据逆矩

?1?1?1?1?1?1阵的性质，得到逆矩阵的条件及表达式。

n阶方阵A可逆的充分必要条件是A?0，并且A可逆时，A的逆矩阵可表

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