矩阵的逆的研究及应用

矩阵的逆的研究及应用

摘要

本文主要是对高等代数中的矩阵的逆进行研究，更深一步地了解矩阵的逆在数学领域中的重要地位和各方面的应用。首先总结阐述矩阵的逆的相关定义、定理和性质，并且对其给出相应的证明，然后归纳了矩阵的逆的几种常见求法，最后讲述了矩阵的逆在以下两个方面的应用：解线性方程组和保密通信，而且例举了具体的应用实例。

关键词：矩阵 矩阵的逆 线性方程组 保密通信

Research and application of inverse matrix

Summary: This paper mainly research on the inverse of the matrix in higher algebra, deeper understanding of the inverse of the matrix in all aspects of the important position in the field of mathematics and application. First summarized in this paper, the related definitions, theorems and properties of the inverse of the matrix, and the corresponding proofs are given, and then sums up several kinds of common method of inverse of the matrix, and finally tells the inverse of the matrix in the application of the following two aspects: solving system of linear equations and secure communications, and illustrates the concrete application examples.

Key Words: matrix , inverse of a matrix ,linear system of equaton, secure

1

communication.

一 矩阵的逆的一些背景

在以往线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的也表现为变换这些矩阵的过程。除线性方程组之外，还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质是完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵的问题以后却是相同的。这就使矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念，因而也就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象。

而矩阵的逆正是矩阵理论中一个很重要的概念，也是极难理解的一部分，在矩阵理论中占有非常重要的地位，对矩阵的逆的研究自然也就成为高等代数研究的主要内容之一。然而在很多线性代数教科书中矩阵的逆的应用知识点几乎没有涉及到，以至于很多学生错误的认为所学东西没有多大的用处。为了矩阵的逆在解决矩阵问题中起着很重要的作用，不能只停留在抽象的概念结论中，而应对所学知识进一步认识，深刻理解，掌握矩阵的逆的本质，本文总结了矩阵的逆相关定义、定理、性质和它的几种常见的求法，进而更进一步提供了实际应用例子，体现出矩阵的逆的重要性和应用性。

二 矩阵的逆的定义、定理及性质

2．1 矩阵的逆的定义

利用矩阵的乘法和矩阵相等的含义，可以把线性方程组写成矩阵形式。对于线性方程组

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn2 ? (1)

????an1x1?an2x2???annxn?bn2

令

?b1??x1??a11a12?a1n??b??x??a?a?a2222n?2A??21 X??? B???

?????????????????aa?ax?bn?nn??n1n2?n?则方程组可写成AX?B。

方程AX?B是线性方程组的矩阵表达形式，称为矩阵方程。其中A称为方程组的系数矩阵，X称为未知矩阵，B称为常数项矩阵。

这样，解线性方程组的问题就变成求矩阵方程中未知矩阵X的问题。类似于一元一次方程ax?b?a?0?的解可以写成x?a?1b，矩阵方程AX?B的解是否也可以表示为则X可求出，但A?1的含义和存在的条件是什么呢？下面来X?A?1B的形式？如果可以，讨论这些问题。

定义1 n级方阵A称为可逆的，如果有n级方阵B，使得

AB?BA?E （2） 这里E是n级单位矩阵。

首先我们指出，由于矩阵的乘法规则，只有方阵才能满足（2）；其次，对于任意的矩阵A，适合等式（2）的矩阵B是唯一的（如果有的话）。事实上，假设B1,B2是两个适合（2）的矩阵，就有

B1?B1E?B1?AB2???B1A?B2?EB2?B2

定义2 如果矩阵B适合（2），那么B就称为A的逆矩阵，记为A?1。 定义3 设Aij是矩阵

?a11a12?a1n??a?a?a21222n?A??????????an1an2?ann?

中元素aij的代数余子式，矩阵

3

?A11?A*A??21????An1A12?A22?An2A1n??A2n??

????Ann?称为A的伴随矩阵。

由行列式按一行（列）展开的公式立即得出：

??d0?0? AA*=A*A=?0d?0?????????dE ?00?d??其中d?A

如果d?A?0，那么由（3）得

A??1?dA*???1*?????dA??A?E

2.2 矩阵的逆的定理和性质

定理1 矩阵A是可逆的充分必要条件是A非退化，而

A?1?1dA*?d?A?0? 证明：当d?A?0，由（4）可知A可逆，且 A?1?1*dA

反过来，如果A可逆，那么有A?1使AA?1?E，两边取行列式，得 AA?1?E?1 因而A?0,即A非退化。

由以上定理，我们可得出逆矩阵的一些性质，如下： 1、A?1?1A 2、设A是n级矩阵，则A可逆的充要条件是存在n级矩阵B，使AB?E4

（3） 4） （5） （6）

（

3、A???1?1?A

?14、设A和B都是n级矩阵且可逆，则AB也可逆，且?AB?5、若k?0，A可逆，则kA也可逆，且?kA?T6、如果A可逆，则AT也可逆，且A?B?1A?1

?1?1?1A kT???1??A?1?

1*?1*AA 7、如果可逆，则A也可逆，且?A??A定理2 A是一个s?n矩阵，如果P是s?s可逆矩阵，Q是n?n可逆矩阵，那么

秩?A??秩?PA?=秩?AQ?

证明：令B?PA，则

秩?B??秩?A?

但是由

A?P?1B

又有

秩?A??秩?B?

所以

秩?A??秩?B?=秩?PA?

另一个等式可以同样地证明。

三 矩阵的逆的求法

3.1 定义法

例1.设方阵A满足方程A?3A?10E?0，证明：A,A?4E都可逆，并求它们的逆矩阵。

证明：由A?3A?10E?0，得到A?22?1?E。 ?A?3E????10?5

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