线性代数习题集(带答案)(7)

7. 如果n阶方阵A的各行元素之和均为0，且r(A)?则线性方程组AX?0n?1，的通解为 .

8. 若n元齐次线性方程组AX?0有n个线性无关的解向量，则A? .

1??12?1??x1???????9. 设A??23a?2?,b??3?,x??x2?，若齐次线性方程组AX?0只有零解，

?1a?2??0??x??????3?则a? .

1??12?1??x1???????10. 设A??23a?2?,b??3?,x??x2?，若线性方程组AX?b无解，则

?1a?2??0??x??????3?a? .

11. n阶方阵A，对于AX?0，若每个n维向量都是解，则r(A)? . 12. 设5?4矩阵A的秩为3，?1,?2,?3是非齐次线性方程组AX?b的三个不同的

解向量，若?1??2?2?3?(2,0,0,0)T,3?1??2?(2,4,6,8)T，则AX?b的通解为 .

13. 设A为m?n矩阵，r(A)?r?min(m,n)，则AX?0有 个解，有 个线

性无关的解. 三、计算题

1. 已知?1,?2是齐次线性方程组AX?0的一个基础解系，问,?3?1??2,??2?,?3??3是否是该方程组的一个基础解系？为什么？

?5?02. 设A???3??1433?1???1?2010??5?6001?1226??，B???，已知B的行向量都是线?1?2100?211?3????1111?1?23?20??性方程组AX?0的解，试问B的四个行向量能否构成该方程组的基础解系？为什么？

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?x?x?03. 设四元齐次线性方程组为 （Ι）：?12

?x2?x4?01）求（Ι）的一个基础解系

2）如果k1(0,1,1,0)T?k2(?1,2,2,1)T是某齐次线性方程组（II）的通解，问方程组（Ι）和（II）是否有非零的公共解？若有，求出其全部非零公共解；若无，说明理由。

4. 问a,b为何值时，下列方程组无解？有唯一解？有无穷解？在有解时求出全部解（用基础解系表示全部解）。

?x1?ax2?x3?a?x1?x2?bx3?4??1）?ax1?x2?x3?1 2）??x1?bx2?x3?b2

?x?x?ax?a2?x?x?2x??433?12?125. 求一个非齐次线性方程组，使它的全部解为

?x1? ?x2?x?3???????1?1???3?????c1????1?3??2?2???????c?3.(c1为,c2任意实数 )?2?????1????2?213?6. 设A??，求4?2一个矩阵B，使得AB?0，且r(B)?2。 ??9?528?

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参考答案

一、单项选择题

1.B 2.D 3.C 4.B 5.A 6.C 7.B 8.D 9.A 10.C

二、填空题

1.100 2.k??2且k?3 3.1 4.r 5.m 6. 7

7. k(1,1,?,1)T （k为任意实数） 8.0 9. a??1或3 10.a??1 11. 0

112. (,0,0,0)T?k(0,2,3,4)T,k任意实数 13.无穷，n?r

2三、计算题 1. 是 2. 不能

3. 1）v1?(0,0,1,0)T,v2?(?1,1,0,1)T 2）k(?1,1,1,1)T(其中k为任意非零常数)

1?a1(1?a)2T（-,,）；4. 1）当a??2时，无解；当a??2且a?1时有唯一解：

2?a2?a2?a当a?1时有无穷多解：c1(?1,1,0)T?c2(?1,0,1)T?(1,0,0)T(其中c1,c2为任意常数)

2）当b??1时，无解；当b??1且b?4时有唯一解：b(b?2)b2?2b?42bT（,,?）；当b?4时有无穷多解：

b?1b?1b?1c(?3,?1,1)T?(0,4,0)T(其中c为任意常数) 5. 9x1?5x2?3x3??5

0??1??01? 6. ??11212????5212????

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第五章 特征值与特征向量

一、单项选择题

?001???1. 设A??010?,则A的特征值是( )。

?100???(a) -1,1,1 (b) 0,1,1 (c) -1,1,2 (d) 1,1,2

?110???2. 设A??101?,则A的特征值是( )。

?011???(a) 0,1,1 (b) 1,1,2 (c) -1,1,2 (d) -1,1,1 3. 设A为n阶方阵, A2?I,则( )。

(a) |A|?1 (b) A的特征根都是1 (c) r(A)?n (d) A一定是对称阵 4. 若x1,x2分别是方阵A的两个不同的特征值对应的特征向量,则k1x1?k2x2也是A的特征向量的充分条件是( )。

(a) k1?0且k2?0 (b) k1?0且k2?0 (c) k1k2?0 (d) k1?0且k2?0 5. 若n阶方阵A,B的特征值相同,则( )。

(a) A?B (b) |A|?|B| (c) A与B相似 (d) A与B合同 6. 设A为n阶可逆矩阵, ?是A的特征值,则A*的特征根之一是( )。 (a) ??1|A|n (b) ??1|A| (c) ?|A| (d) ?|A|n

17. 设2是非奇异阵A的一个特征值,则(A2)?1至少有一个特征值等于( )。

3(a) 4/3 (b) 3/4 (c) 1/2 (d) 1/4

8. 设n阶方阵A的每一行元素之和均为a(a?0),则2A?1?E有一特征值为

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( )。

(a)a (b)2a (c)2a+1 (d)

2 +1 a9. 矩阵A的属于不同特征值的特征向量（ ）。

(a)线性相关 (b)线性无关 (c)两两相交 (d)其和仍是特征向量 10. |A|?|B|是n阶矩阵A与B相似的( )。

(a)充要条件 (b)充分而非必要条件 (c)必要而非充分条件 (d)既不充分也不必要条件 11. n阶方阵A有n个不同的特征根是A与对角阵相似的( )。 (a)充要条件 (b)充分而非必要条件 (c)必要而非充分条件 (d)既不充分也不必要条件

?1??12. 设矩阵A???1?1??1??000?????B?010与???相似,则?,?的值分别为( )。

?002?1????(a) 0,0 (b) 0,1 (c) 1,0 (d) 1,1 13. 设A,B为相似的n阶方阵,则( )。

(a)存在非奇异阵P,使P?1AP?B (b)存在对角阵D,使A与B都相似于D (c)存在非奇异阵P,使PTAP?B (d)A与B有相同的特征向量 14. 若n阶方阵A与某对角阵相似,则( )。

(a) r(A)?n (b) A有n个不同的特征值 (c) A有n个线性无关的特征向量 (d) A必为对称阵

15. 若A相似于B,则( )。

(a) ?I?A??I?B (b) |?I?A|?|?I?B| (c) A及B与同一对角阵相似 (d) A和B有相同的伴随矩阵

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