湖北省华中师大一附中2012届高三上学期期中检测数学（理）试题(2)

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在?ABC中，由余弦定理得：

AB2?AC2?BC2?2AC?BCcos?ACB?(35)2?(10)2?2?35?10?cos45??25?AB?5 ………11分

答：这两座建筑物之间的距离为5km． ……………12分 18．（本小题满分12分） 证明: （Ⅰ）?a、b、c为正数，且a?b?c?6，由柯西不等式有：

a?1?b?2?c?3?(1?a?1?1?b?2?1?c?3)2 ?(1?1?1)(a?1?b?2?a?3)?3?12?6，

当且仅当??a?b?c?6 ，即a?3，b?2，c?1时等号成立，

a?1?b?2?c?3??a?1?b?2?c?3?6． ……………6分

ak?bka?bk?()，则当n?k?1时， ②假设当n?k(k?N)时不等式成立，即

22ak?1?bk?1ak?bkak?1?bk?1a?bkak?1?bk?1?a、b是正数，???k?()?k，

22a?bk2a?bkak?1?bk?1a?b2(ak?1?bk?1)?(a?b)(ak?bk)ak?1?bk?1?akb?abk ?k???kkkkka?b22(a?b)2(a?b)ak?1?bk?1a?b(a?b)(ak?bk)?， ??0， ?ka?bk22(ak?bk)ak?1?bk?1a?bkak?1?bk?1a?bk?1??()?k?()

22a?bk2所以当n?k?1时不等式也成立，

an?bna?bn?()成立． ……………12分 综合①②得当a、b为正数，n?N时，

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?a、b是正数?2(an?1?bn?1)?(an?1?bn?1?abn?anb)?(a?b)(an?bn)?0，

?f(n?1)?1，又?f(n)?0，?f(n?1)?f(n)，?n?N时，f(n)?f(0)?1， f(n)an?bna?bn?()成立． 即当a、b为正数，n?N时，

2219．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题意在?AMN中，

9MP3NP93?,??1， ，??xMNAMMNxAM?AM?3x ……………2分 x?92229x2， ……………3分 ?MN=AM?AN?x?2(x?9)?0?AM?30， 0?x?30，?10?x?30， ……………5分

929x2?S?[x?]，其定义域为[10,30]． ……………6分 216(x?9)929x2（Ⅱ）设S?f(x)?[x?](10?x?30)，则

16(x?9)2918x(x?9)2?9x2?2(x?9)92x[(x?9)3?81], ………8分 f?(x)?[2x?]??4316(x?9)16(x?9)令f?(x)?0得：x?9?333， ……………10分

?10?x?9?333时，f?(x)?0；9?333?x?30时，f?(x)?0， ?x?9?333时，S取得最小值，

答：当x?9?333米时，液晶广告屏幕的面积最小． ……………12分

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?x2?4x?4, x??2或x?2?． ……………6分 ?f(x)??12?x?4x?6, ?2?x?2 ?2?(x?2)2, x??2或x?2 ?（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)??1， 2?(x?4)?2, ?2?x?2 ?2解法一：

1?1?m?2，x?[,m]，??3?2x?4?2m?4?0?2， ……8分

2122当x?[,1]时，2x?4?[?3,?2]，f(2x?4)?(2x?4?2)?4x?8x?4，

25911?f(2x?4)?2x?4x2?10x?4?4(x?)2??4??10??4?0恒成立，

44421即x?[,1]时，f(2x?4)?2x恒成立， ……………10分

212当x?(1,m]时，2x?4?(?2,2m?4]?(?2,2)，f(2x?4)?(2x?4?4)?2

215?2x2?2，?f(2x?4)?2x?2x2?2x?2?2(x?)2?，

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要使f(2x?4)?2x对x?(1,m]恒成立，则须2m?2m?2?0，即1?51?5 ?m?22?1?m?2，?1?m?1?51?5，?m的最大值为． ……………12分

22解法二：?1?m?2，??2?2m?4?0?2，

1?x?[,m]时，f(2x?4)?2x恒成立，?f(2m?4)?2m，

211?51?5?(2m?4?4)2?2?2m，可得：m2?m?1?0，?， …9分 ?m?22211?5，则x?[,m]时，

22?(2x?4?2)2?2x,?3?2x?4??2 ? f(2x?4)?2x??12?(2x?4?4)?2?2x,?2?2x?4?5?3?211?4(x?)(x?2),?x?1 ?22? ???2(x2?x?1),1?x?1?5??21?5 恒有f(2x?4)?2x?0，?m的最大值为． ……………12分

2取m?

（Ⅱ）由题意得方程kx?ax?(1?2a)x?1在x?[1,2]时总有解，所以

2ax2?(1?2a)x?11k??ax??1?2a在x?[1,2]时总有解， ……………6分

xx11?1?2a，则h?(x)?a?2,x?[1,2]， ……………7分 xx1111①当a?且a?0，a??时，h?(x)?a?2?0，h(x)?ax??1?2a在x?[1,2]时单调递减，

42xx33?h(x)min?h(2)?，h(x)max?h(1)?2?a，?k?[,2?a]； …8分

221111)时，h?(x)?0，h(x)单调递减，②当?a?1时，令h?(x)?a?2?0得：x?，?x?[1,4xaa1x?(,2]时，h?(x)?0，h(x)单调递增，

a设h(x)?ax??h(x)min?h(31)?2a?1?2a，h(x)max?max{h(1),h(2)}?max{,2?a}，

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113?a?，则2?a?，?k?[2a?1?2a,2?a]， 422133若?a?1，则2?a?，?k?[2a?1?2a,]； ………9分 22211③当a?1时，h?(x)?a?2?0，h(x)?ax??1?2a在x?[1,2]时单调递增，

xx33?h(x)min?h(1)?2?a，h(x)max?h(2)?，?k?[2?a,]； ……………10分

223111设集合A?{k|?k?2?a,a?}，B?{k|2a?1?2a?k?2?a,?a?}，

2442313C?{k|2a?1?2a?k?,?a?1}，D?{k|2?a?k?,a?1}，

222所以要使直线y?kx与函数f(x)在x?[1,2]上的图像恒有公共点，则实数k的取值范围为：

33A?B?C?D?{}，所以存在实数k满足题意，其取值范围为{}． …12分

22（注：直接讨论直线y?kx与抛物线y?ax2?(1?2a)x?1的位置关系求解，可参考上述评分标准评分）

若

22．（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）由??4sin(??

?3)得：

?cos?sin)?2sin??23cos?， ……………2分

33即：?2?2?sin??23?cos?，由x??cos?，y??sin?得：

??4(sin?cos??x2?y2?2y?23x，因而圆C的直角坐标方程为：(x?3)2?(y?1)2?4……4分 （Ⅱ）设点P(x,y)，点A、B、P对应的参数分别为t1、t2、t，将直线l的参数方程代入圆C的直角坐

标方程得：(tcos??3)2?(1?tsin?)2?4， 整理得：t2?(23cos??2sin?)t?0，?t?t1?t2??(3cos??sin?)，……6分 2?3132cos2??sin2?? ?x?tcos???3cos??sin?cos????222， ???y?2?tsin??2?3sin?cos??sin2???3sin2??1cos2??3??222??3x??cos(2??)??62，消去参数?得：(x?3)2?(y?3)2?1， ……8分 即??22?y??sin(2???)?3 62又因为直线l和圆C交于A、B两点，所以??(23cos??2sin?)2?0， ?? 第 10 页 版权所有@中国高考志愿填报门户

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2?tan???3，???[0,?)，????，?x?0，y?2，

3323所以弦AB的中点P的轨迹方程为(x?． …10分 )?(y?)2?1（去掉点(0,2)）

22（注：把直线方程转化为普通方程，利用解析几何中求轨迹方程的方法求解，可参考上述评分标准评分）

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