21
EFOE1＝＝，BFB'B21122EF＝B’E。在Rt△B’BE中，易得到BF⊥BE,由射影定理得：B’E〓EF＝BE即B’E＝1，
33所以B’E＝3。
1 y 例4. 求过定点M(1,2)，以x轴为准线，离心率为的椭圆的下顶点
2 M F 其解法如下：作AE⊥BC于E，连接B’E即所求，易得到OE∥B’B，所以
的轨迹方程。 A x 【分析】运动的椭圆过定点M，准线固定为x轴，所以M到准线距离为2。抓住圆锥曲线的统一性定义，可以得到
|AF|1＝建立一个方程，再由离心率的定22义建立一个方程。
【解】设A(x,y)、F(x,m)，由M(1,2)，则椭圆上定点M到准线距离为2，下顶点A到准线距离为y。根据椭圆的统一性定义和离心率的定义，得到：
1?4222(x?1)?(m?2)?×2(y?)?2?32 ，消m得：（x－1）＋＝1， ?m?y122??()?23?y4(y?)23＝1。 2所以椭圆下顶点的轨迹方程为（x－1）＋
2()23【注】求曲线的轨迹方程，按照求曲线轨迹方程的步骤，设曲线上动点所满足的条件，根据条件列出动点所满足的关系式，进行化简即可得到。本题还引入了一个参数m,列出的是所满足的方程组，消去参数m就得到了动点坐标所满足的方程，即所求曲线的轨迹方程。在建立方程组时，巧妙地运用了椭圆的统一性定义和离心率的定义。一般地，圆锥曲线的点、焦点、准线、离心率等问题，常用定义法解决；求圆锥曲线的方程，也总是利用圆锥曲线的定义求解，但要注意椭圆、双曲线、抛物线的两个定义的恰当选用。
Ⅲ、巩固性题组： 1． 函数y＝f(x)＝a＋k的图像过点(1,7)，它的反函数的图像过点(4,0)，则f(x)
的表达式是___。 2. 过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为A1、B1,则∠A1FB1等于_____。
A. 45° B. 60° C. 90° D. 120° 3. 已知A＝{0,1}，B＝{x|x?A}，则下列关系正确的是_____。 A. A?B B. A?B C. A∈B D. A?B
4. 双曲线3x－y＝3的渐近线方程是_____。
A. y＝〒3x B. y＝〒1x C. y＝〒3x D. y＝〒3x
322x35. 已知定义在R上的非零函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则f(x)是_____。 A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇既偶函数
21
22
?n3n6. C383n＋C21?n＝________。
7. Z＝4(sin140°－ｉcos140°)，则复数12的辐角主值是__________。
z8. 不等式ax＋bx＋c>0的解集是(1,2)，则不等式bx＋cx＋a<0解集是__________。 9. 已知数列{an}是等差数列，求证数列{bn}也是等差数列，其中bn＝1(a1＋a2n22＋…＋an)。
22210. 已知F1、F2是椭圆x2＋y2＝1 (a>b>0)的两个焦点，其中F2与抛物线y＝12x
ab7的焦点重合，M是两曲线的一个焦点，且有cos∠M F1F2〃cos∠MF2F1＝23，求椭圆方程。
五、数学归纳法
归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。
数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n0)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或n≥n0且n∈N）结论都正确”。由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。
运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。
运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。
Ⅰ、再现性题组：
1. 用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2〃1〃2…(2n－1) （n∈N），从“k到k＋1”，左端需乘的代数式为_____。
n2k?12k?3 A. 2k＋1 B. 2(2k＋1) C. D.
k?1k?122
23
2. 用数学归纳法证明1＋
k?1111＋＋…＋n
A. 2 B. 2－1 C. 2 D. 2＋1
3. 某个命题与自然数n有关，若n＝k (k∈N)时该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立。现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得______。 (94年上海高考)
A.当n＝6时该命题不成立 B.当n＝6时该命题成立 C.当n＝4时该命题不成立 D.当n＝4时该命题成立
4. 数列{a}中，已知a1＝1，当n≥2时an＝an?1＋2n－1，依次计算a2、a3、a4后，猜想an的表达式是_____。
A. 3n－2 B. n C. 35. 用数学归纳法证明33
4(k?1)?22(k?1)?14n?2n2n?1 D. 4n－3
＋5
2n?1 (n∈N)能被14整除，当n＝k＋1时对于式子
＋5应变形为_______________________。 6. 设k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱对角面的个数为f(k+1)＝f(k)＋_________。 【简解】1小题：n＝k时，左端的代数式是(k＋1)(k＋2)…(k＋k),n＝k＋1时，左端
的代数式是(k＋2)(k＋3)…(2k＋1)(2k＋2)，所以应乘的代数式为B；
k?1
kk(2k?1)(2k?2)，选
k?12小题：（2－1）－（2－1）＝2，选C；
3小题：原命题与逆否命题等价，若n＝k＋1时命题不成立，则n＝k命题不成立，选C。
4小题：计算出a1＝1、a2＝4、a3＝9、a4＝16再猜想an，选B；
5小题：答案（3＋56小题：答案k－1。 Ⅱ、示范性题组： 例1. 已知数列
4k?22k?1）3＋5
k2k?1（5－3）；
248·n8·1，得，…，2222，…。Sn为其前n项和，求1·3(2n?1)·(2n?1)S1、S2、S3、S4，推测Sn公式，并用数学归纳法证明。 （93年全国理）
8024488，S2＝，S3＝，S4＝ ，
2549819(2n?1)2?1猜测Sn＝ (n∈N)。
(2n?1)2【解】 计算得S1＝
当n＝1时，等式显然成立；
(2k?1)2?1假设当n＝k时等式成立，即：Sk＝， 2(2k?1)8·(k?1)当n＝k＋1时，Sk?1＝Sk＋
(2k?1)2·(2k?3)223
24
8·(k?1)(2k?1)2?1＝＋
(2k?1)2·(2k?3)2(2k?1)2(2k?1)2?(2k?3)2?(2k?3)2?8·(k?1)＝
(2k?1)2·(2k?3)2(2k?1)2?(2k?3)2?(2k?1)2(2k?3)2?1＝＝, 222(2k?3)(2k?1)·(2k?3)由此可知，当n＝k＋1时等式也成立。
综上所述，等式对任何n∈N都成立。
(2k?3)2?12【注】 把要证的等式Sk?1＝作为目标，先通分使分母含有(2k＋3)，2(2k?3)再考虑要约分，而将分子变形，并注意约分后得到（2k＋3）－1。这样证题过程中简洁一些，有效地确定了证题的方向。本题的思路是从试验、观察出发，用不完全归纳法作出归纳猜想，再用数学归纳法进行严格证明，这是关于探索性问题的常见证法，在数列问题中经常见到。 假如猜想后不用数学归纳法证明，结论不一定正确，即使正确，解答过程也不严密。必须要进行三步：试值 → 猜想 → 证明。
【另解】 用裂项相消法求和：
2118·n＝－得，
(2n?1)2(2n?1)2·(2n?1)2(2n?1)2111111Sn＝（1－2）＋（2－2）＋……＋－＝1－222 335(2n?1)(2n?1)(2n?1)由an＝
(2n?1)2?1＝。 2(2n?1)此种解法与用试值猜想证明相比，过程十分简单，但要求发现
8·n＝
(2n?1)2·(2n?1)211－的裂项公式。可以说，用试值猜想证明三步解题，具有一般性。
(2n?1)2(2n?1)211例2. 设an＝1×2＋2×3＋…＋n(n?1) (n∈N),证明：n(n＋1)
22(n＋1) 。
【分析】与自然数n有关，考虑用数学归纳法证明。n＝1时容易证得，n＝k＋1时，因为ak?1＝ak＋(k?1)(k?2),所以在假设n＝k成立得到的不等式中同时加上
2(k?1)(k?2)，再与目标比较而进行适当的放缩求解。
1112【解】 当n＝1时，an＝2，n(n+1)＝， (n+1)＝2 ，
222? n＝1时不等式成立。
112假设当n＝k时不等式成立，即：k(k＋1)
2224
25
112k(k＋1)＋(k?1)(k?2)k(k＋1)＋(k＋1)＝(k＋1)(k＋3)>(k＋1)(k＋2)， 222211132222(k＋1)＋(k?1)(k?2)＝(k＋1)＋k?3k?2<(k＋1)＋(k＋)＝222212(k＋2)， 2112所以(k＋1)(k＋2)
22112综上所述，对所有的n∈N，不等式n(n＋1)
22当n＝k＋1时，
【注】 用数学归纳法解决与自然数有关的不等式问题，注意适当选用放缩法。本题中分别将(k?1)(k?2)缩小成(k＋1)、将(k?1)(k?2)放大成(k＋
3)的两步放缩是证2n＝k＋1时不等式成立的关键。为什么这样放缩，而不放大成(k＋2)，这是与目标比较后的要求，也是遵循放缩要适当的原则。
本题另一种解题思路是直接采用放缩法进行证明。主要是抓住对n(n?1)的分析，注意与目标比较后，进行适当的放大和缩小。解法如下：由n(n?1)>n可得，an>1＋2
1111n(n＋1)；由n(n?1)
2＋3＋…＋n＝
证明{an}是等差数列。 （94年全国文）
【分析】 要证明{an}是等差数列，可以证明其通项符合等差数列的通项公式的形式，即证：an＝a1＋(n－1)d 。命题与n有关，考虑是否可以用数学归纳法进行证明。
【解】 设a2－a1＝d，猜测an＝a1＋(n－1)d 当n＝1时，an＝a1， ? 当n＝1时猜测正确。
当n＝2时，a1＋(2－1)d＝a1＋d＝a2， ?当n＝2时猜测正确。 假设当n＝k（k≥2）时，猜测正确，即：ak＝a1＋(k－1)d ， 当n＝k＋1时，ak?1＝Sk?1－Sk＝
(k?1)(a1?ak?1)k(a1?ak)－，
22将ak＝a1＋(k－1)d代入上式， 得到2ak?1＝(k＋1)(a1＋ak?1)－2ka1－k(k－1)d， 整理得(k－1)ak?1＝(k－1)a1＋k(k－1)d，
因为k≥2,所以ak?1＝a1＋kd，即n＝k＋1时猜测正确。
综上所述，对所有的自然数n，都有an＝a1＋(n－1)d，从而{an}是等差数列。
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