高考数学复习一本全(2)

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8. 已知?〈β<α〈3π，cos(α-β)＝12，sin(α+β)＝－3，求sin2α的值。(92

24135年高考题)

9. 设二次函数f(x)＝Ax＋Bx＋C，给定m、n（m0；

② 是否存在一个实数t，使当t∈(m+t,n-t)时，f(x)<0 ？若不存在，说出理由；若存在，指出t的取值范围。

10. 设s>1，t>1，m∈R，x＝logst＋logts，y＝logst＋logts＋m(logst＋logts),

① 将y表示为x的函数y＝f(x)，并求出f(x)的定义域；

② 若关于x的方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求m的取值范围。

二、换元法

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4＋2－2≥0，先变形为设2＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝x＋1?x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sinα ，α∈[0,

2xxx24422222222?]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，2222其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x＋y＝r（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。

均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝

SS＋t，y＝－t等等。 22我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量

范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上

?几例中的t>0和α∈[0,]。

2Ⅰ、再现性题组：

1.y＝sinx〃cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。

2.设f(x＋1)＝loga(4－x) （a>1），则f(x)的值域是_______________。 3.已知数列{an}中，a1＝－1，an?1〃an＝an?1－an，则数列通项an＝___________。

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4.设实数x、y满足x＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。

21?3?x5.方程＝3的解是_______________。

1?3x6.不等式log2(2－1) 〃log2(2

xx?1－2)〈2的解集是_______________。

1t2【简解】1小题：设sinx+cosx＝t∈[－2,2]，则y＝＋t－，对称轴t＝

221－1，当t＝2，ymax＝＋2；

22小题：设x＋1＝t (t≥1)，则f(t)＝loga[-(t-1)＋4]，所以值域为(－≦,loga4]； 3小题：已知变形为

221an?11＝－n，所以an＝－；

n2x2－

11＝－1,设bn＝，则b1＝－1,bn＝－1＋(n－1)(-1)anan4小题：设x＋y＝k，则x－2kx＋1＝0, △＝4k－4≥0,所以k≥1或k≤－1；

215小题：设3＝y，则3y＋2y－1＝0,解得y＝，所以x＝－1；

36小题：设log2(2－1)＝y，则y(y＋1)<2，解得－2

例1. 实数x、y满足4x－5xy＋4y＝5 （ ①式） ，设S＝x＋y，求的值。（93年全国高中数学联赛题）

【分析】 由S＝x＋y联想到cosα＋sinα＝1,于是进行三角换元，设

22222222x5,log23)。 41Smax＋

1Smin??x?Scosα代入①式求Smax和Smin的值。 ???y?Ssinα??x?Scosα【解】设?代入①式得： 4S－5S〃sinαcosα＝5

??y?Ssinα10解得 S＝ ；

8?5sin2α101010≧ -1≤sin2α≤1 ? 3≤8－5sin2α≤13 ? ≤≤

138?5sin?331316811? ＋＝＋＝＝

5101010SmaxSmin7

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此种解法后面求S最大值和最小值，还可由sin2α＝等式：|

8S?10的有界性而求，即解不S8S?10|≤1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。 SSSSS2222【另解】 由S＝x＋y，设x＝＋t，y＝－t，t∈[－，]，

2222S2S22则xy＝〒－t代入①式得：4S〒5－t2=5，

44移项平方整理得 100t+39S－160S＋100＝0 。

221010≤S≤ 13331316811? ＋＝＋＝＝

SmaxSmin1010105? 39S－160S＋100≤0 解得：

2【注】 此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S＝x＋y与三角公式cosα＋sinα＝1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式S＝x＋y而按照均值换元的思路，设x＝S＋t、y＝S－t，减少了元的个数，问题且容易求解。另外，还用到了求

2222222222值域的几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法。

和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x、y时，可以设x＝a＋b，y＝a－b，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。本题设x＝a＋b，

52]，所以S＝(a－b)＋(a＋310202101011222b)＝2(a＋b)＝＋a∈[,]，再求＋的值。

1313133SmaxSminy＝a－b，代入①式整理得3a＋13b＝5 ，求得a∈[0,

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例2． △ABC的三个内角A、B、C满足：A＋C＝2B，cos

112＋＝－，求cosAcosCcosBA?C的值。（96年全国理） 2【分析】 由已知“A＋C＝2B”和“三角形内角和等于180°”的性质，可得

?A?C?120°?A＝60°?α；由“A＋C＝120°”进行均值换元，则设? ，再代入可??B＝60°?C＝60°－αA?C求cosα即cos。

2?A?C?120°【解】由△ABC中已知A＋C＝2B，可得 ?,

B＝60°?8

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?A＝60°?α由A＋C＝120°，设?，代入已知等式得：

C＝60°－α?11111＋＝＋＝＋

cosAcosCcos(60???)cos(60???)13cos??sin?221cos?cos?＝＝＝－22, 13313cos2??sin2?cos2??cos??sin?44422A?C22解得：cosα＝， 即：cos＝。

222112【另解】由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以＋＝－

cosAcosCcosB11＝－22，设＝－2＋m，＝－2－m ，

cosAcosC11所以cosA＝

?2?m?2?mA?CA?CA?C22cosA＋cosC＝2coscos＝cos＝2，

222m?2A?CA?CA?C2mcosA－cosC＝－2sinsin＝－3sin＝2，

222m?2A?C222m2A?C2A?C即：sin＝－，＝－2，代入sin＋cos＝1整222m?23(m2?2)A?C22242理得：3m－16m－12＝0,解出m＝6，代入cos＝2＝。

22m?211【注】 本题两种解法由“A＋C＝120°”、“＋＝－22”分别进行均

cosAcosC值换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练。假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以

，cosC＝，两式分别相加、相减得：

112＋＝－＝－22，即cosAcosAcosCcosB＋cosC＝－22cosAcosC，和积互化得：

A?CA?CA?C2cos＝－2[cos(A+C)＋cos(A-C)，即cos＝－2222A?C22A?C2A?C2cos(A-C)＝－2(2cos－1)，整理得：42cos＋2cos

2222－32＝0,

2cos

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10解得：cos

A?C2＝ 2222例3. 设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx〃cosx－2a的最大值和最小值。 【解】 设sinx＋cosx＝t，则t∈[-2,2]，由(sinx＋cosx)＝

21＋2sinx〃cosx得：sinx〃cosx＝

t?1 2112? f(x)＝g(t)＝－(t－2a)＋ （a>0），t∈[-2,2]

2212t＝-2时，取最小值：－2a－22a－

212当2a≥2时，t＝2，取最大值：－2a＋22a－ ；

21当0<2a≤2时，t＝2a，取最大值： 。

2?12(0?a?)?1?222? f(x)的最小值为－2a－22a－，最大值为?。

212?2?2a?22a?(a?)?22? y , , －2 2 x 【注】 此题属于局部换元法，设sinx＋cosx＝t后，抓住sinx＋cosx与sinx〃cosx的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。换元过程中一定要注意新的参数的范围（t∈[-2,2]）与sinx＋cosx对应，否则将会出错。本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位臵关系而确定参数分两种情况进行讨论。

一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为f(sinx〒cosx，sinxcsox)，经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。

4(a?1)2a(a?1)2例4. 设对所于有实数x，不等式xlog2＋2x log2＋log2>0

aa?14a22恒成立，求a的取值范围。（87年全国理）

4(a?1)2a(a?1)2【分析】不等式中log2、 log2、log2三项有何联系？进行

aa?14a2对数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。

4(a?1)2a8(a?1)a?1【解】 设log2＝t，则log2＝log2＝3＋log2＝3－

a2aa?12a2aa?1(a?1)2log2＝3－t，log2＝2log＝－2t， 2a?12a4a2代入后原不等式简化为（3－t）x＋2tx－2t>0，它对一切实数x恒成立，所以：

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