入胜，这与教师的教学观念是密切相关的。
从这堂课的整体效果看，因从暴露思维的角度组织材料，所以学生学得轻松愉快，主动参与教学活动的热情高涨，变被动接受为主动学习，提高了学习效果。在教师的适当点拨下，学生在力所能及的发现中可以领略到数学的魅力，激发了他们的学习兴趣。
从教师的教学理念看，特别注重提高思维能力和创新意识的培养，于是设计出一个又一个富有成果的、有价值的问题。给学生以探索的机会，创造的热情，从而提高了素质。我们说演绎推理能力的培养，无疑是重要的，但对于寻找真理、发现真理和探索真理而言，更要重视合乎情理的推理能力的培养。这一切，传统的数学教学未予重视，于是说要设计一个好的教案，转变教学观念更是关键、是方向盘、是指南针。
（二）挖掘教材是教学设计的必修课。
现行教学教材是由很多教学教育专家经过反复修改、讨论才编就的，它的每一项内容乃至每一条题目，都有其精心的考虑。当然，编写者不可能也无必要把他们的所有想法都写进教材，这就要求我们深入钻研教材，充分挖掘教材的潜能，实际教学时，做到既源于课本，又高于课本、活于课本，以培养学生的创造性的思维能力和解决实际问题的能力。
本教案从一个反常规的问题入手，扣开了学生的创新思维，可能在学生的心目中，甚至在许多教师的心底里认为（3）式作为椭圆的标准方程是天经地义的，从来没有想过为什么要把（3）式作为标准方程，也从来没有想过（3）式的许多不足和缺陷。本课时正是在这一逆向思维的基础上，一下子吸引了学生的注意力，激活了他们的好奇心，整节内容设计成几课时，犹如一部优秀的电视连续剧，让人留恋忘返、欲止不能。
本教案的成功之处是充分的挖掘了教材的潜能，站在学生的层面上设计教学过程，把知识点的掌握转化为探索过程，并把探求的领域一次次地扩大，一次次地深入，这种有浅入深、由表及里、由小见大的教学设计方案，符合学生的心理特征和人们的一般的认知规律，值得借鉴和推广。
作者简介
蒋亮，男。1956年12月生，现任浙江省象山中学校长，是浙江省特级教师，宁波市首批名教师、宁波市享受正教授待遇的正高级教师。主要从事数学竞赛、数学管理和教育创新的研究，对学生创新能力、研究意识的培养有独到的见解和成效，在《数学教学》、《数学通讯》等刊物上发表多篇。《六年来高考内容的覆盖和应试秘方》一文曾被三家杂志转载，同年被评为全国优秀论文，参与编写新教材教参用书多种。
?
案例4 函数最值的一些求法及错解分析
浙江省镇海中学 许克用
一、教案描述
教学课题：函数最值的一些求法及错误分析 教学目标：
1、 复习函数最值的一些主要求法； 2、 剖析求解过程中产生错误的原因；
3、 进一步树立“实践是检验真理的唯一标准”的唯物论。 教学重点：最值求法
教学难点：掌握解题中产生错误的原因
导 学：引导学生在自主解题和互相讨论的过程中抓住重点，突破难点，掌握主要的求
解方法及正误鉴别方法，从而提高思维能力。
教学过程：
亮题：这堂课拟通过大家对实例的研讨，进一步掌握求函数最值的一些主要方法及解题过程中产生错误的原因。
例1、已知函数y?2x2x?3(x?4)，请大家自己或与周围同学一起探讨出求这个函数最值的
各种方法。
（学生举手回答）解法一：
y?2x2x?3?2[(x?3)?9x?3?6]?2[2(x?3)?9x?3?6]?24
当且仅当，即x=6时（舍去x=0）ymin?24,但无最大值。
（教师指出）这种方法叫配凑法，同时用到了基本不等式，很好！应注意什么？（答：等号是否能取到）。
（学生举手回答）解法二： 令x-3=t，则≧x≥4，?t≥1。
y?2(t?3)t2?2(t?9t?6)?2(2t?9t?6)?24。余同解一。
（教师提问）此为何法？（答：换元法。）解题时应注意什么？（答：1、注意新变量t的变化范围；2、在利用基本不等式时什么时候取到等号。）
评：此法虽与解法一的实质是一样的，但它优于解法一。问：还有其他解法吗？ （学生举手回答）解法三：
≧x≥4，x-3≠0,?转化为方程2x2-yx+3y=0.利用判别式法得 Δ=y2-24y≥0，则y≥24或y≤0。≧x≥4，?y>0,?y≥24，即ymin?24，但无最大值。
（教师提问）此解法对吗？Δ≥0能保证根x≥4吗？部分同学认为不正确,如何改正？
???y2?24y?0??y??4?24?y?32（学生举手回答）利用实根分布法得(1)??2?2??f(4)?32?4y?3y?0?
?
对吗？（教师指导）实践检验，取y=40代入，得x?20x?60?0，解得x或x?10?210?42?10?210?4(舍)，可见存在x?10?210，使y=40>32，可见上述解法还存在问题，怎
样修正？（学生回答）上述不等式组仅仅给出在?4,???上有两个实根的情形，还应补上在?4,???上有一实根的情形:(2)、f(4)≤0，即y≥32。综上（1）、（2），得y≥24。?ymin?24，
但无最大值。
评：此法叫做实根分布法，有时简称判别式法。判别式法用到的是必要条件，并不充要，因此应慎用。
（教师问）还有什么解法吗？ （学生举手回答）解法四： ≧y?2x2x?3?21x?3?1x2??3(21x?16)?2112,
?当x=6时ymin?24。 又≧x≥4，?0?1x?14，当?3(1x?16)2?112时y???，但?3(1x?16)2?112，?y无最大值。
（教师提问）此为何法？（答：配方法。） （教师问）还有其它解法吗？
（学生举手回答）解法五（求导法）： 由y?2x2x?3得，
y??4x(x?3)?2x2?x?3?2?2x2?12x?x?3?2?2x(x?6)?x?3?2?0,即x=0（舍）或x=6时，y??0.列表如下：
x y?4 -16 32 （4，6） 6 — 0 （6，+≦） + y 24 由上表可得，当x=6时ymin?24，但无最大值。
教师指出：此法即为导数法。那么用导数法求最值的思路是：①、先通过求导求出各个极值和函数端点值；②、经比较，取其中最小的就是函数的最小值，其中最大的就是函数的最大值。上例中当x ?（6，+≦）时y递增，所以函数取不到最大值。
小结:综合以上,我们用到了哪些方法?(学生回答)配凑法、基本不等式法、换元法、判别式法（或实根分布法）、配方法、求导法等等。接下来我们拟通过对例1的变式再来复习一些求法。
变式一：将例1中的“x≥4”改为“x≥8”，其余条件不变。
（请同学们继续研究，讨论。教师有意识地请用换元法和配方法的同学来回答。） 解法一：（换元法）
令x-3=t，则≧x≥8，?t≥5。
y?2(t?3)t?242?2(t?9t?6)?2(2t?9t?6)?24。
?ymin。
询问：“对吗？” 学生答：“错了。≧等号成立当且仅当t2=9，此时t=〒3，而t≥5，?等号取不到。”
?
教师提出“怎么办”，并引导学生分析函数y≧y??1?x y??x?9x的单调性。
?9x2?x2?92?0x时，x=〒3，又x≠0，故可列表得：
（-≦，-3） -3 （-3，0） 0 （0，3） 3 （3，+≦） + 0 -6 ?x?9x- - 0 6 + y 根据上表，易得函数y的大致图像（如右下图所示）。 ?x?9xy 6 -3 O 由上表和右图可以清楚地看到函数y的单调性为： 分别在(??,?3],[3,??)上函数是单调递增的，而分别在[?3,0), (0,3]上函数是单调递减的。因此函数y上是增函数，故ymin?f(5)?2(5??2(t?9t?6)在区间 ，而无 3 -6 x [5,??)95?6)?2535最大值。
（向学生指出，这里我们就用到了函数的单调性法）
教师点评：当用基本不等式法因等号取不到而失效时，往往利用函数的性质(单调性法)去求函数的最值。可见利用不等式法时必须考虑自变量的取值范围是否能保证等号取到，这是一个陷阱，一定要小心！
解法二：配方法
因为y?2x2x?3??3(21x?16)?2112,其中x ? x??8,???,故0?1x?18,所以在这里我们遇到了自
变量有界的二次函数求最值问题，必须考虑到x≠，也就是说ymin61?24。为此观察式中分
母.
≧对称轴与x轴的交点坐标为（，0），而<，且抛物线开口向下
686111?
1x在?0,??1??8?上时?3(?251x?16)?2112为增函数，当x=时取到最大值，
81?当x=8时ymin35，但无最大值。
点评：用配方法求最值时，特别应注意抛物线的对称轴与自变量取值区间之间的相对位臵关系，当对称轴不落在区间内时，最小值是区间端点值，而并不是顶点函数值！若区间两端时开的，则无最值。
通过变式一我们又复习了用函数单调性求函数最值的方法，特别地，还遇到了两个极易产生错误的地方，这两个易错点务必请同学们弄懂并特别小心。
变式二：将例1中的“x≥4”改为“x≥a（a>3）”，其余条件不变。
（请同学们继续研究，讨论，我们是否可以用变式一中的两种方法去求解？） 解法一：（换元法） 令x-3=t，则
?
y?2(t?3)t2?2(t?9t?6)?2(2t?9t?6)?24。这显然不对。
ymin?2a2≧x≥a，?t≥a –3，?当a>6时等号取不到。此时利用函数单调性可得而当3
(3?a?6)此时x?6
(a?6)
此时x?a ，但无最大值。
解法二：配方法 因为y?2x2x?3??3(21x?16)?2112,
当a>6时，≧x≥a，?当3
1x?161?1???0,?6x???
ymin?f(a)?2a2a?3。
时,
ymin?24
综上可知，答案与解法一相同。
点评：
1、当自变量x的范围由参数给出时必须对参数进行分类来讨论函数所取得的不同最值 2、若本题将“a>3”改为“a> -1”，是否还存在最小值呢？请同学们课外去思考。 下面给出一道应用题请大家讨论研究。
例2、在函数y=3x2（-1≤x≤1）的图像上取A，B两点使AB
x轴且B的横坐标为t
（0
(6t2B A ?2m?6t362)3-1 O ?49mm1 x ?S?ABC当且仅当6t2?2t(m?3t)222?2 ?m?3t2，即t?m3时取到等号。
想一想：当m>3, 0 0 这就要由S(t)= 2t（m-3t2）在0 ? 百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库特级教师、优秀教师的教案、教例分析(4)在线全文阅读。
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