特级教师、优秀教师的教案、教例分析(2)

（5）例题练习

例题的讲解与练习的训练，都是尽量让学生活动，也就是尽量减小?的值，所以没有必要将两者截然分开，而是实行例题与练习的一体化.这样也可使教案在层次和结构上显得简洁明快.

（6）现代化教学技术的应用

计算机走进课堂是大势所趋，它在许多方面为提高教学效益起到了其他教学方式不可替代的作用.但必须认识到，多媒体课件永远是教学的辅助手段，它永远也不能取代黑板和粉笔.这一节课在一些地方也运用了课件，如图1、图2、图3就充分发挥了多媒体课件动画演示的优越性，取得了超乎寻常的效果.但在其他地方除了利用实物外，灵活机动地利用黑板和粉笔的特长也是取得教学效果的不可或缺的条件.

参考文献

[1]《普通高中数学课程标准（实验）》 中华人民共和国教育部制定 人民教育出版社 2003，4 [2]《谈数学悟性》 黄安成 数学教学（沪） 1999，3

作者简介

黄安成，1941年7月出生于江苏省兴化市，1962年毕业于徐州师范大学，分配至睢宁县任教至今，曾任徐州市中学数学教学专业委员会副理事长、睢宁中学数学教研组组长，1988年被评聘为中学高级教师，1990年被江苏省人民政府授予“中学特级教师”称号，现仍在睢宁县高级中学任教。在四十多年的中学数学教学实践与研究中，逐步形成了“纵横联系，情趣盎然，培养能力，教书育人”的教学风格，取得丰硕的教学成果，至今发表了近140篇教研论文， 2001年正式出版个人专著《黄安成数学教学论文选集》，应邀在省内外的几十所大、中、小学讲学，获得一致好评。

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案例2 “球的体积”教学 南京师大附中 马明

编者按：马明先生的这篇用“祖暅原理”来推导“球的体积公式” 的教案，风靡全国久矣。然现行高中立几教材对“球的体积公式” 已不用“祖暅原理”来推导，而采用 “分割，求近似和转化为准确和”的方法。本书之所以再次转载，是因为这篇教案魅力不减，仍极具教学参考和鉴赏阶值。

一、教案描述：

通过“球的体积”的教学，不仅要求学生熟记球的体积公式，更要培养学生观察、估算、猜想、构造和论证能力，并注意完善学生认知结构.

[若只要求学生记住有关公式，剩下的就是反复练习——解几个一元方程：已知半径求体积；已知体积求半径，……这是降低教学要求，把高中课降为初中课的做法]

师:（板书）已知球的半径为R，求V球=？（出示小黑板——图23）[思维从问题开始]

师:为了计算半径为R球的体积，可以先计算半球的体积V半球 .观察图23，你一定能在V圆柱、V半球、V圆锥这三个量之间正确地写上不等符号（学生完成）得

V圆柱>V半球>V圆锥.

[提供类比,让学生目测大小,温故而知新,用以强化认识过程] 师:由于 是已知的，便得双重不等式（板书）:

V圆柱 =?R、 V圆锥=?R

3313[向“量化”过渡] 你能猜测V半球=?

[引诱学生猜想.猜想是发现的开始] 生:…… [诱导一下]

师:(πR3的系数―1‖改写为―

33‖,得?R>V>33313?R

3师:可以大胆一些,准许猜错. 生: V半球 =?R 对吗?

323[此答案不一定出自成绩最好的学生,而是胆大者,思维活跃者] 师:有一定理由,因为3/3>2/3>1/3嘛!然而,这太冒险了. [既鼓励,又提出更高要求,使学生仍处于激奋境地] [用行动支持敢于大胆猜想的学生]

⑦

师:我们不妨做一个试验,用以验证这个猜想.

[理、化有实验,数学也可以有实验,美国盛行―数学实验教学法‖,这对激发学生学习兴趣,培养学习能力都十分有利]

[取一个半径为R的半球面,再取半径和高都是R的圆桶和圆锥各一个,都是铁皮制成的容器.将圆锥放入圆桶内(图24),再将半球容器装满细沙,然后把半球内的细沙倒入圆桶内,发现圆桶恰好被装满]

师:你能将实验结果用一个等式表达出来吗?

[鼓励学生将实验结果―量化‖(构造一个等式)是十分重要的数学方法]

生1:[板书] V圆柱―V圆锥=V半球

生2:[板书] V半球=V圆柱 ―V圆锥=?R-?R=331323?R

3师:于是得(板书) V球=?R

343 且V圆柱: V半球: V圆锥=3:2:1

师:中学数学是建立在推理的基础上的,实验结果是否可靠?还要进行论证才行. [中学理、化是建立在实验基础上的]

[用数学工具去证明实验结果,学生兴趣盎然]

师:我们现在的任务是证明这个实验结果,或者说,是要证明图23右边充满细沙的几何体与左边充满细沙的半球是等积形.而右边几何体的体积是已知的.[板书]

该几何体的体积=?R-?R=331323?R.如果再能证明它又符合祖暅原理中的“条件”.

3我们就可以将它做为半球的参照体.

;

⑧

[为了运用祖暅原理,所引入的几何体必须符合两个条件:①它的计算公式是已知的②它符合祖暅原理的条件;该几何体与原几何体要夹在两个平行平面之间,且用平行于这两个平面的任意一个平面去截时,截得的截面面积总相等.符合以上两个条件的几何体可叫做原几何体的参照体,在前面推导柱、锥的体积的多次教学中应该引用这个术语，让学生熟悉祖暅原理与该术语的关系]

该几何体与半球同高(R),这说明它与半球可以夹在两个平行平面之间,剩下的问题是要证明它与半球的等距截面的面积相等.

用与底面平行的任一平面去截图24的两个几何体,截面分别是圆面和圆环面(图25).如果截面与平面α的距离为l,那么圆面半径r?R?l22,圆环面的大圆半径为R,小圆半径为

l,因此

S圆=πr2=π(R2 –l2),

S圆环=πR2–πl2=π(R2 –l2), 所以S圆=S环

根据祖暅原理,这两个几何体的体积相等,即

1V半球= ? R2?R??R2?R3

23 ??R3

所以V球 = ?R

343由此,“猜想”得到证明,可以写成定理形式:

[从猜想到证明是“质”的升华!是学习数学的最重要的素质] 定理:如果球的半径是R,那么它的体积是

V球 =?R

343师:你准备怎样记忆这个结论呢?

[不管是意义识记或是机械识记,在这里都是有效的,都是可行的.根据各个学生的学习习惯,不必强求一律]

生1:根据“细沙实验”

133V半球=V圆柱 ―V圆锥= ?R??R3

23 ??R3

? V球 =

43?R

3生2:我保要记住 V圆柱: V半球: V圆锥=3:2:1就行了.

师:还有其它的记忆方法吗?例如,把球体视为拟柱体,采用拟柱体的体积公工试试看. [数学教师要不要培养学生的记忆能力?这是有争议的.看来,数学教师有可能,也有必要去培养学生的记忆能力]

生:[板演]

⑨

V拟柱体=

16h?S?4S0?S/?

2对于球,h?2R,S?S??0,S0??R 所以V球= ?2R?0?4?R?0?6

21 =?R

343[随时复习与应用拟柱体公式]

师:这能作为球体积公式的证明吗?

生:球体不是拟柱体,不能作为证明,但可以作为一种记忆方法.

师:还有其它的记忆方法吗?例如,将球体分割成许多小的锥体,球心是这些小锥体的顶点,锥的底面不是平面,而是球面的一小部分(是曲面)请看图26.[是可贵的数学思想]

于是V球=许多小锥体之和,而这许多小锥体的高可视为球半径R，又因为所有小锥体的底面之和=球面积=4πR2，

1所以V球= ?S1?S2??h3

12 ??4?R?R3

43 ??R3

[发展学生的空间想象能力]

同样，这也不能作为球体积公式的证明.但是,使人感到兴趣的是,拟柱体\\小锥体与球体的这种“默契”,这种内部的一致,给人们和谐的感觉,它不仅可以帮助人们记忆,还给人以和谐美的感受![升华了]

师:现在再请大家自己解答一个问题[板书]

[不十分困难的例题由学生自己解答,然后再对照课本并进行议论,有时比教师直接讲解要收效大些,不妨一试]

有一种空心钢球,重142g,测得外径等于5.0cm , 求它的内径(钢比重是7.9g/cm3). 师:这是课本的例题,解完后自行对照课本.[同时由一位学生板演] 议论: (略)

师:今天这堂课的关键是构造一个球的参照体,而“细沙实验”帮助我们解决了这个问题.你能离开实验,经过分析直接构造这个参照体吗?

[代替小结,将课内效果引向课外——直接构造参照体]

二、教案分析

这份教案显然是写给别人看的,如果只是为了自己教学,我想,只要记下教学过程就行了: 1 提出问题V求=?

2 目测圆柱、半球、圆锥这三者之间的大小关系 3 得猜想：V半球?23?R

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