2015高数B1(上)(试卷2及答案)(2)

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二、选择题（每题3分，共15分 选择正确答案的编号，填在各题的括号内）

1、设 f(x)?e?1e?11x1x，则x?0是f(x)的（ B ）.

(A) 可去间断点, (B) 跳跃间断点,

(C) 第二类间断点, (D) 连续点.

2、在区间[?1,1]上满足罗尔中值定理条件的函数是（ D ）.

sinx2, (B) y?(x?1), x (C) y?x, (D) y?x2?1.

(A) y?3、设函数f(x)可导，则limx?2f(4-x)-f(2)x-2． =（ B ）

(A)f￠(2)； (B)-f￠(2) ；

(4)． (C)-f￠(x-2)； (D)f￠4、函数y?ex的图形在(??,??) （ A ）

(A) 凹的, (B) 凸的, (C) 有拐点, (D) 有垂直渐近线.

5、设?f(x)dx?F(x)?C，则?sinxf(cosx)dx等于（ D ）

(A) F(sinx)?C, (B) ?F(sinx)?C,

(C) F(cosx)?C, (D) ?F(cosx)?C.

得分 阅卷教师 三 、计算题（每小题7分，共42分）

?sinx?1、计算lim??x?asina??1x?a.

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?sinx?解：lim??x?asina??

1x?a?sinx?sina??lim?1??x?asina??dy. dx1x?a?ecosasina

2、求yx?xy,(x,y?0)的导数解：两边取对数得

xlny?ylnx

两边关于x求导

lny?y?xy?y?lnx? yxy2?yxlny于是 y??2

x?xylnx3、求不定积分?dx1?ex.

解 令t?1?ex，则x?ln(t2?1),dx?2dt t2?11dt =2?2t?12tdt. t2?1原式=?=lnt?1?C t?1 =2ln(1?ex?1)?x?C

4、计算定积分?arcsinxdx.

012解：?arcsinxdx?xarcsinx0??0121212x1?x20dx??12?3?1 25、由方程?edt??0yt2x20sintdydt?1，确定y为x的函数，求.

dxt解：方程?edt??0yt2x20sintdt?1两边对x求导，得到 t

e?y??y2sinx2x22?2x?0，得

y???2e?ysinx2

7

6、若f(x)的一个原函数是ln(x?x2?1)，求?xf??(x)dx. 解 ?xf??(x)dx??xdf?(x)

?xf?(x)??f?(x)dx

?xf?(x)?f(x)?C

?2??f(x)?ln(x?x?1)???f?(x)??x(x?1)x2(x?1)2x2?1(x?1)23231x?12

23

?xf??(x)dx????

?1x?12?C

?C

得分 阅卷教师 四、证明题（每小题7分，共21分）

下：

1、证明数列

2,2?2,?,2?2???2,?

?????????n个根号极限存在,并求出其极限.

证： 令xn?2?2???2,易见数列{xn}是单调增加的,现在用数学归纳法来证明数

?????????n个根号列{xn} 是有界的.

显然,x1?2?2.

假设xn?2，则有xn?1?2?xn?2?2?2，从而对一切n有xn?2.即数列{xn}是有界的.

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数列{xn}单调有界必收敛，即数列{xn}存在极限，不妨记其极限为a，由于xn?1?2?xn，

2即 xn?1?2?xn，

运用数列极限的四则运算法则,当n??时有

a2?2?a,

即 (a?1)(a?2)?0.

即a??1,a?2，前者不可能，所以此数列存在极限，且极限为2.

2、设f(x)在[a,b]上连续，且f(a)?a,f(b)?b,证明在开区间(a,b)内至少存在一点?，使

f(?)??.

证：设F(x)?f(x)?x ，则有F(x)在[a,b]上连续，

F(a)?f(a)?a?0,F(b)?f(b)?b?0,

根据零值定理可得在开区间(a,b)内至少存在一点?，使F(?)?0，即f(?)??

3、证明不等式

sinx-siny?xy.

证明 设f(t)=sint，因为f(t)在(-?,?)上连续、可导，在区间[x,y]上应用拉格朗日中值定理有

， sinx-siny=(x-y)cosx（x在x,y之间）

又因为cosx￡1，所以

sinx-siny?x

得分 阅卷教师 y.

五、应用题（每小题7分，共7分）

1、欲制一体积为V的圆柱形易拉罐，问如何设计用料最省？

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解：设底圆半径为r，则高为

V，表面积?r2S(r)?2?r2?2?rh?2?r2?2?rS?(r)?4?r?2V?0,r?r2令3VV2?2?r?2r?r2V2?

当底圆半径为r?

3V时用料最省。 2? 10

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