第二章 习题解答(4)

解：?F(r)?dE(r)nk??n?1?drr方向与位矢?的方向相反，即指向力心．?

2.37 （1）试计算月球和地球对物体的引力相抵消的一点，距月球表面的距离是多少？地球质量5.98?1024kg，地球中心到月球中心的距离3.84?10m，月球质量7.35?1022kg，月球半径1.74?10m。

（2）如果一个1kg的物体在距月球和地球均无限远处的势能为零，那么它在P点的势能为多少？

解：???设在距月球中心为?处?月引??地引，由万有引力定律，有??

mM月r286??

mM地?R?r?M月2?

经整理，得???

M地?M月R?

??

7.35?10225.98?1024?7.35?10226?3.48?108?

??????????????

则?点处至月球表面的距离为?

?????月??????????????×???＝????×??????????质量为????的物体在?点的引力势能为???????

EP??GM月mr月11?GM地m?

?R?r月?7.35?10225.98?1024?11??????6.67?10???6.67?10?77?38.4?3.83??103.83?10???????????106J?

2.38 一根劲度系数为k1的轻弹簧A的下端，挂一根劲度系数为k2的轻弹簧B，B的下端又挂一重物C，C的质量为M，，如图所示。求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势能之比。 解：弹簧?、?及重物?受力如题????图所示平衡时，有??????????又??????Δ????????Δ???

所以静止时两弹簧伸长量之比为??

?x1k2???x2k1弹性势能之比为??

Ep1Ep21k1?x12k?2?2?1k12k2?x22

2.39 由水平桌面、光滑铅直杆、不可伸缩的轻绳、轻弹簧、理想滑轮以及质量为m1和m2的滑块组成如题图所示装置，弹簧的劲度系数为k，自然长度等于水平距离BC，m2与桌面间的摩擦系数为?，最初m1静止在A点，AB=BC= h，绳已拉直，现令m1滑块落下，求它下落到B处时的速率。

解：取?点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则由功能原理，有??μ?????

11???????????［???????Δ???］?22式中Δ?为弹簧在?点时比原长的伸长量，则?Δ?????????2?????

2?m1?m2?gh?kh2联立上述两式，得????

m1?m2?2?1?2?

2.40 一质量为m的质点位于(x1,y1)处，速度为v=vxi+vyj，质点受到一个沿x负方向的力f的作用，求相对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力的力矩。 解：?由题知，质点的位矢为?

??????????

作用在质点上的力为?

??????

所以，质点对原点的角动量为?????×???

??????????×???????????

????????????????

作用在质点上的力的力矩为?

????×???????????×???????????

2.41 物体质量为3kg，t=0时位于r=4im，v=i+6j m s-1，如一恒力f=5jN作用在物体上，求3秒后，（1）物体动量的变化；（2）相对z轴角动量的变化。 解：??????p?fdt???305jdt?15jkg?m?s?1?

???解?一??????????????????

y?v0yt?1215at?6?3???32?25.5?223即???????????????????????????

5vy?v0y?at?6??3?11?

3即??????????????????

∴??????×??????×????????????

?????×??????????????×????????????????∴Δ??????????????????·??·????解?二??∵M?∴???L?dz?dtt0?t0M?dt??(r?F)dt?

3?15????(4?t)i?(6t?)?t2)j??5jdt023???????????

??5(4?t)kdt?82.5k03kg?m2?s?1

2.42 平板中央开一小孔，质量为m的小球用细线系住，细线穿过小孔后挂一质量为M1的重物。小球作匀速圆周运动，当半径为r0时重物达到平衡。今在M1的下方再挂一质量M2为的物体，如题2-24图。试问这时小球作匀速圆周运动的角速度??和半径r?为多少？

解：在只挂重物??时，小球作圆周运动的向心力为???，即?

???????ω??????????????????????????????????????????①?

挂上??后，则有?

????????????′ω′?????????????????????????????②?

重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒．?即????????′??′?

?r02?0?r?2??2?????????????????????????????③?

联立①、②、③得?

?0????r??(M1gmr0M1gM1?M23()?mr0M1M1)3?r0M1?M22?

?????质量20g为的子弹以400m?s的速率沿如图所示的方向击入一原来静止的质量为980g的摆球中。摆线长为?米，不可伸缩，质量不计。子弹击入后摆球速度为?

（A）4ms；（B）8m?s；（C）2m?s；（D）8?rad?s。 答案：A

2.44 哈雷慧星绕太阳运动的轨道是一个椭圆。它离太阳最近距离为r1?8.75?1010m时的速率是v1?5.46?104ms?1，它离太阳最远时的速率是v2?9.08?102ms?1，这时它离太阳的距离r2是多少？（太阳位于椭圆的一个焦点。）

解：哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力——即有心力的作用，所以角动量守恒；又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有?????????????????????????

?1?1?1?1?1r1v18.75?1010?5.46?104∴r2???5.26?10122v29.08?10m?

2.45 电子质量为?×???????，在半径为???×??????的圆周上绕氢核作匀速运动，已知电子的角动量为

h，求它的角速度。?2??2解：电子角动量L?rmvsin??rm?rsin90?rm??对基态电子rm??2h，得电子角速度?2?h6.63?10?3416????4.18?10rad/s?2?31?1122?mr2?3.14?9?10?(5.3?10)?

2.46 升降机内有两物体，质量分别为m1，m2，且m1=2m2。用细绳连接，跨过滑轮，绳子不可伸长，滑轮质量及一切摩擦都忽略不计，当升降机以匀加速a=g/2上升时，求：（1）m1和m2相对升降机的加速度；（2）在地面上观察m1，m2的加速度各为多少？ 解：分别以?????为研究对象，其受力图如图???所示．?

???设??相对滑轮?即升降机?的加速度为?′，则??对地加速度????′??；因绳不可伸长，故??对滑轮的加速度亦为?′，又??在水平方向上没有受牵连运动的影响，所以??在水平方向对地加速度亦为?′，由牛顿定律，有?

??????????′????

?????′?

?

题????图?

联立，解得?′??方向向下???????对地加速度为?????′???

g??方向向上?2??在水面方向有相对加速度，竖直方向有牵连加速度，即?绝??相′??牵?

g25∴a1?a??a?g??g?

42222θ???????

a1????????????°，左偏上．?a?2

2.47 火箭起飞时，从尾部喷出的气体的速度为3000m/s，每秒喷出的气体质量为600kg。若火箭的质量为50t，求火箭得到的加速度。

解：火箭的运动是变质量系统的反冲运动。当喷出dm气体，其速度增加dv

mv?(m?dm)(v?dv)?(?dm)(v?u)∴dv??u则a?

dm， mdv1dm1??u??3000?(?600)??36m/s2 3dtmdt50?102.48 一质量为m的宇宙飞船绕行星作圆周运动，圆的半径为R0，速率为v0。因火箭爆发，给飞船增加了向外的速度分量vx?v0。于是它的轨迹成为椭圆。?

⑴试证引力可写成?

2mv0R0F??2r⑵试用R0、v0以及vx写出椭圆方程，并利用相应的计算机语言编程作图。

2v0Mm2（1）证明：m作圆周运动时，G02?m， ?G0M?R0v0 （1）

R0R02R0Mmmv0M作椭圆运动时，F?G02?

rr2

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