ππ
≤x≤kπ＋(k∈Z)， 36
ππ??
∴函数的单调递增区间为?kπ－，kπ＋?(k∈Z)．
36??
?xπ??xπ?＋??14．已知函数f(x)＝23·sincos?＋?－sin(x＋π)． 24???24?解得kπ－
(1)求f(x)的最小正周期； (2)若将f(x)的图象向右平移
π
个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在6
区间[0，π]上的最大值和最小值． 解析 (1)因为f(x)＝
π??
3sin?x＋?＋sin x＝
2??
3cos x＋sin x＝
?3?π??1
2?cos x＋sin x?＝2sin?x＋?，
3?2??2?所以f(x)的最小正周期为2π. (2)∵将f(x)的图象向右平移
π
个单位，得到函数g(x)的图象， 6
π?π?π?π?????
∴g(x)＝f?x－?＝2sin??x－?＋?＝2sin?x＋?.∵x∈[0，π]，
6?3?6?6?????π?π7π
∴x＋∈?，
66?6
??， ?
π?πππ?x＋?＝1，g(x)取得最大值2. ∴当x＋＝，即x＝时，sin?
6?623?π?π7π1?
当x＋＝，即x＝π时，sin?x＋?＝－，g(x)取得最小值－1.
6?662?【点评】 解决三角函数的单调性及最值值域问题主要步骤有： ωx＋φ＋h或y＝Acosωx第一步：三角函数式的化简，一般化成y＝Asin＋φ＋h的形式.
第二步：根据sin x、cos x的单调性解决问题，将“ωx＋φ”看作一个整体，转化为不等式问题.
第三步：根据已知x的范围，确定“ωx＋φ”的范围. 第四步：确定最大值或最小值. 第五步：明确规范表述结论.
π??
15．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)?A＞0，ω＞0，0＜φ＜?的部分图象如图所示．
2??
(1)求f(x)的解析式；
π??2???ππ?
(2)设g(x)＝?f?x－??，求函数g(x)在x∈?－，?上的最大值，并确定此
12??3????6时x的值．
Tπ2ππ3
解析 (1)由题图知A＝2，＝，则＝4×，∴ω＝. 43ω32?3?π???π?
－－??＋φ? ?＝2sin?×又f?
?6??2?6???π?
＝2sin?－＋φ?＝0，
?4?
π?ππππ?φ－?＝0，∵0＜φ＜，∴－＜φ－＜， ∴sin?
4?2444?ππ
∴φ－＝0，即φ＝，
44
π??3
∴f(x)的解析式为f(x)＝2sin?x＋?.
4??2
π?π?π?π??3???3
(2)由(1)可得f?x－?＝2sin??x－?＋?＝2sin?x＋?，
12?4?12?8???2?2?π??
1－cos?3x＋?
4?π??2π?????
∴g(x)＝?f?x－??＝4×＝2－2cos?3x＋?，
12??4?2???ππ5π?ππ?
∵x∈?－，?，∴－≤3x＋≤，
3?444?6∴当3x＋
ππ
＝π，即x＝时，g(x)max＝4. 44
16．已知直线y＝2与函数f(x)＝2sin2ωx＋23sinωxcosωx－1(ω>0)的图象
的两个相邻交点之间的距离为π.
(1)求f(x)的解析式，并求出f(x)的单调递增区间；
π
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象，求函数g(x)
4
的最大值及g(x)取得最大值时x的取值集合． 解析 (1)f(x)＝2sin2ωx＋23sinωxcosωx－1
π??
＝1－cos2ωx＋3sin2ωx－1＝2sin?2ωx－?，
6??
2π
由题意可知函数的最小正周期T＝＝π(ω>0)，所以ω＝1，
2ω
所以f(x)＝2sin?
??
2x－π?6??，
令2kπ－πππ
2≤2x－6≤2kπ＋2其中k∈Z，
解得kπ－π6≤x≤kπ＋π
3
，其中k∈Z，
即f(x)的递增区间为?
??
kπ－ππ?6，kπ＋3??，k∈Z.
(2)g(x)＝f???x＋π?4??＝2sin???2???
x＋π?π??
π?4??－6??＝2sin??2x＋3??，
则g(x)的最大值为2，
此时有2sin???2x＋π??
π?3??＝2，即sin??
2x＋3??＝1，
即2x＋π3＝2kπ＋π2，其中k∈Z，解得x＝kπ＋π
12
，k∈Z，所以当g(x)取得最大值时x的取值集合为???π
?x??x＝kπ＋12，
k∈Z???
.
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