江苏省无锡市2014年中考数学试卷（word版，含解析）(3)

根据等边对等角求得∠DAO的度数，则∠CAD即可求得； （2）易证OE是△ABC的中位线，利用中位线定理求得OE的长，则DE即可求得． 解答： 解：（1）∵AB是半圆O的直径， ∴∠ACB=90°， 又∵OD∥BC， ∴∠AEO=90°，即OE⊥AC，∠CAB=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°． ∵OA=OD， ∴∠DAO=∠ADO===55° ∴∠CAD=∠DAO﹣∠CAB=55°﹣20°=35°； （2）在直角△ABC中，BC=∵OE⊥AC， ∴AE=EC， 又∵OA=OB， ∴OE=BC=． ==． 又∵OD=AB=2， ∴DE=OD﹣OE=2﹣． 点评： 本题考查了圆周角定理以及三角形的中位线定理，正确证明OE是△ABC的中位线是关键． 23．（6分）（2014?无锡）为了解“数学思想作文对学习数学帮助有多大？”一研究员随机抽取了一定数量的高校大一学生进行了问卷调查，并将调查得到的数据用下面的扇形图和表来表示（图、表都没制作完成）． 选项 帮助很大 帮助较大 帮助不大 几乎没有帮助 a 543 269 b 人数 根据图、表提供的信息． （1）请问：这次共有多少名学生参与了问卷调查？ （2）算出表中a、b的值．

（注：计算中涉及到的“人数”均精确到1）

考点： 扇形统计图；统计表． 分析： （1）用“帮助较大”的人数除以所占的百分比计算即可得解； （2）用参与问卷调查的学生人数乘以“帮助很大”所占的百分比计算即可求出a，然后根据总人数列式计算即可求出b． 解答： 解：（1）参与问卷调查的学生人数=543÷43.65%≈1244； （2）a=1244×25.40%=316， b=1244﹣316﹣543﹣269=1244﹣1128=116． 点评： 本题考查的是扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 24．（10分）（2014?无锡）三个小球分别标有﹣2，0，1三个数，这三个球除了标的数不同外，其余均相同，将小球放入一个不透明的布袋中搅匀．

（1）从布袋中任意摸出一个小球，将小球上所标之数记下，然后将小球放回袋中，搅匀后再任意摸出一个小球，再记下小球上所标之数，求两次记下之数的和大于0的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法给出分析过程，并求出结果）

（2）从布袋中任意摸出一个小球，将小球上所标之数记下，然后将小球放回袋中，搅匀后再任意摸出一个小球，将小球上所标之数再记下，…，这样一共摸了13次．若记下的13个数之和等于﹣4，平方和等于14．求：这13次摸球中，摸到球上所标之数是0的次数． 考点： 列表法与树状图法． 专题： 图表型． 分析： （1）根据题意画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解； （2）设摸出﹣2、0、1的次数分别为x、y、z，根据摸出的次数、13个是的和、平方和列出三元一次方程组，然后求解即可． 解答： 解：（1）根据题意画出树状图如下： 所有等可能的情况数有9种，其中两次记下之数的和大于0的情况有3种， 则P==； （2）设摸出﹣2、0、1的次数分别为x、y、z， 由题意得，， ③﹣②得，6x=18， 解得x=3， 把x=3代入②得，﹣2×3+z=﹣4， 解得z=2， 把x=3，z=2代入①得，y=8， 所以，方程组的解是， 故摸到球上所标之数是0的次数为8． 点评： 此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，难点在于（2）列出三元一次方程组． 25．（8分）（2014?无锡）（1）如图1，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心、AD为半径画弧交边AB于E．求证：=

．（这个比值

叫做AE与AB的黄金比．）

（2）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角

形．请你以图2中的线段AB为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC．

（注：直尺没有刻度！作图不要求写作法，但要求保留作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标注）

考点： 作图—应用与设计作图；黄金分割． 分析： （1）利用位置数表示出AB，AC，BC的长，进而得出AE的长，进而得出答案； （2）根据底与腰之比均为黄金比的等腰三角形，画图即可． 解答： （1）证明：∵Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC， ∴设AB=2x，BC=x，则AC=x， ∴AD=AE=（﹣1）x， ∴==． （2）解：底与腰之比均为黄金比的等腰三角形，如图： ． 点评： 此题主要考查了黄金三角形的作法以及黄金三角形的性质，根据已知得出底边作法是解题关键． 26．（10分）（2014?无锡）如图，二次函数y=ax+bx（a＜0）的图象过坐标原点O，与x轴的负半轴交于点A，过A点的直线与y轴交于B，与二次函数的图象交于另一点C，且C点的横坐标为﹣1，AC：BC=3：1． （1）求点A的坐标； （2）设二次函数图象的顶点为F，其对称轴与直线AB及x轴分别交于点D和点E，若△FCD与△AED相似，求此二次函数的关系式．

2

考点： 二次函数综合题． 分析： （1）过点C作CM∥OA交y轴于M，则△BCM∽△BAO，根据相似三角形对应边成比例得出==，即OA=4CM=4，由此得出点A的坐标为（﹣4，0）； 22（2）先将A（﹣4，0）代入y=ax+bx，化简得出b=4a，即y=ax+4ax，则顶点F（﹣2，﹣4a），设直线AB的解析式为y=kx+n，将A（﹣4，0）代入，化简得n=4k，即直线AB的解析式为y=kx+4k，则B点（0，4k），D（﹣2，2k），C（﹣1，3k）．由C2（﹣1，3k）在抛物线y=ax+4ax上，得出3k=a﹣4a，化简得到k=﹣a．再由△FCD与直角△AED相似，则△FCD是直角三角形，又∠FDC=∠ADE＜90°，∠CFD＜90°，得出222∠FCD=90°，△FCD∽△AED．再根据两点之间的距离公式得出FC=CD=1+a，得出△FCD是等腰直角三角形，则△AED也是等腰直角三角形，所以∠DAE=45°，由三角形内角和定理求出∠OBA=45°，那么OB=OA=4，即4k=4，求出k=1，a=﹣1，进而得到此二次2函数的关系式为y=﹣x﹣4x． 解答： 解：（1）如图，过点C作CM∥OA交y轴于M． ∵AC：BC=3：1， ∴=． ∵CM∥OA， ∴△BCM∽△BAO， ∴===， ∴OA=4CM=4， ∴点A的坐标为（﹣4，0）； （2）∵二次函数y=ax+bx（a＜0）的图象过A点（﹣4，0）， ∴16a﹣4b=0， ∴b=4a， 2∴y=ax+4ax，对称轴为直线x=﹣2， ∴F点坐标为（﹣2，﹣4a）． 设直线AB的解析式为y=kx+n，将A（﹣4，0）代入， 得﹣4k+n=0， ∴n=4k， ∴直线AB的解析式为y=kx+4k， ∴B点坐标为（0，4k），D点坐标为（﹣2，2k），C点坐标为（﹣1，3k）． 2∵C（﹣1，3k）在抛物线y=ax+4ax上， ∴3k=a﹣4a， ∴k=﹣a． ∵△AED中，∠AED=90°， ∴若△FCD与△AED相似，则△FCD是直角三角形， ∵∠FDC=∠ADE＜90°，∠CFD＜90°， ∴∠FCD=90°， ∴△FCD∽△AED． ∵F（﹣2，﹣4a），C（﹣1，3k），D（﹣2，2k），k=﹣a， 22222222∴FC=（﹣1+2）+（3k+4a）=1+a，CD=（﹣2+1）+（2k﹣3k）=1+a， ∴FC=CD， ∴△FCD是等腰直角三角形， ∴△AED是等腰直角三角形， ∴∠DAE=45°， ∴∠OBA=45°， ∴OB=OA=4， ∴4k=4， ∴k=1， ∴a=﹣1， 2∴此二次函数的关系式为y=﹣x﹣4x． 2

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