九类常见递推数列求通项公式方法(3)

an?an?1?an?2an?332n?1解：an?1an?2?a3a2?a2a11?2n?12n?32n?5533?????2n?12n?12n?3752n?1

∴

an?a1??2n?1

an?k?m?an?1m?an?1型。

1?k(1an?1?1)1?k?1an?1?km

[例4]

考虑函数倒数关系有anCn?1m ∴ an令 练习：

an 则{Cn}可归为an?1?kan?b型。

1. 已知{an}满足a1?3，an?1?2an?1求通项公式。 解：

设an?1?m?2(an?m) an?1?2an?m ∴ m?1 ∴ {an?1?1}是以4为首项，2为公比为等比数列 ∴ an?1?4?2n?1 ∴ an?2n?1?1

*2. 已知{an}的首项a1?1，an?1?an?2n（n?N）求通项公式。

解：

an?an?1?2(n?1) an?1?an?2?2(n?2) an?2?an?3?2(n?3)…… a3?a2?2?2

?a2?a1?2?1

2an?a1?2[1?2???(n?1)]?n?n

11

∴ an?n?n?1

an?1?nn?2an23. 已知{an}中，解： an?an?1?且a1?2求数列通项公式。

an?2?a3?a2?n?1n?2n?3n?4212??????an?1an?2an?3a2a1n?1nn?1n?243an?24∴ a1n(n?1)a ∴

n?n(n?1)

n?1a2?ann?1?4. 数列{an}中，2n?1?an，a1?2，求{an}的通项。

解：

12n?1?an1a?n?1?1n?12an ∴ an?1a?1?1n2n

bb1n?1设an?1?bn?2n?1bn?bn?1?1n ∴

∴ 2n

b1∴

n?bn?1?2n

b1n?1?bn?2?2n?1

b1n?2?bn?3?2n?2……

b13?b2?23

?bb

2?1?122

112[1?()n?1]?2211b?1111?2?2n n?b122?23???2n1?2

12

n(n?1)

bn?12?12n∴

?12?2?12nn ∴

an?12an?2nn2?1

5. 已知：a1?1，n?2时，解：

an?An?B?121212an?1?2n?1，求{an}的通项公式。

设

[an?1?A(n?1)?B]1212

an?an?1?An?A?B

????????∴ ?121A?21?A??4?A?B??122 解得：?B?6 ∴ a1?4?6?3

1∴ {an?4n?6}是以3为首项，2为公比的等比数列

1n?13an?4n?6?3?()an?n?1?4n?622∴ ∴

【模拟试题】

1. 已知{an}中，a1?3，an?1?an?2，求an。

2. 已知{an}中，a1?1，an?3an?1?2（n?2）求an。

13

n

n3. 已知{an}中，a1?1，an?2an?1?2（n?2）求an。

an?4?4an?1（n?2）求an。

4. 已知{an}中，a1?4，

5. 已知{an}中，a1?1，其前n项和Sn与an满足

{1an?2Sn22Sn?1（n?2）

}S（1）求证：n为等差数列 （2）求{an}的通项公式

6. 已知在正整数数列{an}中，前n项和Sn满足

?Sn?18(an?2)2

12 （1）求证：{an}是等差数列 （2）若bnan?30求{bn}的前n项和的最小值

14

1. 解：

nn?1由an?1?an?2，得an?an?1?2

∴ an?an?1?2n?1 ……

an?1?an?2?2n?2?a2?a1?2

n?1∴

an?a1?2(1?2)1?2?2?2n ∴ an?2?2?a1?2?1

nn2. 解：

由an?3an?1?2得：an?1?3(an?1?1)

an?1?3∴ an?1?1 即{an?1}是等比数列

n?1an?1?(a1?1)?3 ∴ an?(a1?1)?3n?1?1?2?3n?1?1

3. 解：

n由an?2an?1?2得2nan?an?12n?1?1∴ 2{an}nan成等差数列，2n?12?(n?1) ∴

an?n?2?2nn?1

4. 解： an?1?2?2?4an1an?212?2(an?2)an?12（n?1）设

1 ∴ an?1?2bn??an2(an?2)?12?1an?2（n?1）

1∴ an?1?2?1an?2

即

bn?1?bn?(n?1)

1?1a1?215

∴ {bn}是等差数列 ∴ an?2

?(n?1)?12?n2

an?2n?2

5. 解：

Sn?Sn?1?2Sn2（1）

1Sn?1Sn?1?22Sn?1 ∴ Sn?1?Sn?2SnSn?1

{ ∴

}Sn是首项为1，公差为2的等差数列

11∴ Sn?2n?1

2(12n?112n?1)2（2）

Sn?12n?1 ∴

an?2???1?24n?8n?32(n?2)

n?1(n?2)?1?an???2?2?4n?8n?3又 ∵ a1?1 ∴

6. 解：

a1?S1?18(a1?2)2（1）

∴ a1?2

18(an?2)?2n?2时，

an?Sn?Sn?1?18(an?1?2)2

整理得：(an?an?1)(an?an?1?4)?0

∵ {an}是正整数数列 ∴ an?an?1?0 ∴ an?an?1?4 ∴ {an}是首项为2，公差为4的等差数列 ∴ an?4n?2

bn?12(4n?2)?30?2n?31（2）

∴ {bn}为等差数列 ∴ Sn?n?30n

2∴ 当n?15时，Sn的最小值为15?30?15??225

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