九类常见递推数列求通项公式方法(2)

bn?bn?1?1??1????，依此类推有bn?1?bn?2????2??2?2nnnn?1、bn?2?bn?3?1?????2?n?2、…、

?1?b2?b1???，各式叠加得bn?b1??2?n?i?2?1???，即?2?nnbn?b1??i?2n1?1?????22??nnn?i?2?1?????2?nn?i?1?1??1??1????? ?2??2?n??1??nn?an?4?bn?4??1?????4?2。

?2?????类型七：an?1?panr （an?0）

思路（转化法）：对递推式两边取对数得logman?1?rlogman?logmp，我们令

bn?logman，这样一来，问题就可以转化成类型一进行求解了。

2例7 已知a1?10，an?1?an，求an。

2解：对递推式an?1?an左右两边分别取对数得lgan?1?2lgan，令lgan?bn，则

bn?1?2bn，即数列?bn?是以b1?lg10?1为首项，2为公比的等比数列，即bn?2n?1，

因而得an?10bn?102n?1。

c?anpan?d类型八：an?1?（c?0） 1an?1pan?dc?an1an?1d1pc思路（转化法）：对递推式两边取倒数得?，那么?can??，

令bn?1an，这样，问题就可以转化为类型一进行求解了。

例8 已知a1?4，an?1?2?an2an?1，求an。

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解：对递推式左右两边取倒数得

1212121an?1?2an?12an即

1an?1?12an?1?1，令

1an14?bn则

74bn?1?bn?1。设bn?1????bn???，即???2，?数列?bn?2?是以

72n?1?2??为

首项、

为公比的等比数列，则bn?2??a?an?bc?an?d，即bn?2n?2?72n?1，?an?22n?1n?2?7。

类型九： an?1?（c?0、ad?bc?0） ax?bcx?d思路（特征根法）：递推式对应的特征方程为x?即cx2?(d?a)x?b?0。当

???为等差数列，我?????1?1特征方程有两个相等实根x1?x2??时，数列?即??a?da???n??an?2c?们可设

1an?1?a?d2c?an?1a?d2c；当特征方程??（?为待定系数，可利用a1、a2求得）

?a?x1?a1?x1有两个不等实根x1、x2时，数列?n是以为首项的等比数列，我们可设?a1?x2?an?x2??a1?x1?n?1??；当特征方程???（?为待定系数，可利用已知其值的项间接求得）

an?x2?a1?x2?an?x1的根为虚根时数列?an?通项的讨论方法与上同理，此处暂不作讨论。

例9 已知a1?12， an?4an?1?3an?1?2（n?2），求an。

4x?3x?22解：当n?2时，递推式对应的特征方程为x?即x?2x?3?0，解得

?a?1?a1?x12x1??1、x2?3。数列?n???1为首项的等比数列，设是以?a1?x2?2?an?3?an?1an?3

???1???n?1，由a1?12得a2?2则?3???，???3，即

an?1an?3???1??3n?1，

7

?1,n?1n?3?1?2从而an?n?1，?an??n。

3?1?3?1,n?2n?1??3?1

8

常见递推数列通项公式的求法

重、难点：

1. 重点：

递推关系的几种形式。

2. 难点：

灵活应用求通项公式的方法解题。

【典型例题】

[例1] an?1?kan?b型。

（1）k?1时，an?1?an?b?{an}是等差数列，an?b?n?(a1?b) （2）k?1时，设an?1?m?k(an?m) ∴ an?1?kan?km?m

m?bk?1

bk?1 bk?1n?1比较系数：km?m?b ∴

{an?b}∴

k?1是等比数列，公比为k，首项为bk?1bk?1n?1a1?∴

an??(a1?)?k ∴

an?(a1?)?k?bk?1

[例2] an?1?kan?f(n)型。

（1）k?1时，an?1?an?f(n)，若f(n)可求和，则可用累加消项的方法。

an?1?an?1n(n?1)求{an}的通项公式。

例：已知{an}满足a1?1，解：

an?1?an?1n(n?1)1n?11n

?1n?1n?1

1n?2?1n?1

∵

∴

an?an?1??an?1?an?2? 9

an?2?an?3?121n?313

?1n?2……

12

1n ∴

an?2?1n

a3?a2??a2?a1?1?对这（n?1）个式子求和得：

an?a1?1?（2）k?1时，当f(n)?an?b则可设an?1?A(n?1)?B?k(an?An?B) ∴ an?1?kan?(k?1)An?(k?1)B?A

?(k?1)A?abaaB???A?2(k?1)B?A?bk?1(k?1) ?k?1，∴ 解得：

∴ {an?An?B}是以a1?A?B为首项，k为公比的等比数列 ∴ an?An?B?(a1?A?B)?k∴ an?(a1?A?B)?kn?1n?1

?An?B 将A、B代入即可

n（3）f(n)?q（q?0，1）

an?1等式两边同时除以qCn?anqnn?1得qkqn?1?kqq?ann?1q

令 则

Cn?1?Cn?1q ∴ {Cn}可归为an?1?kan?b型

[例3] an?1?f(n)?an型。

（1）若f(n)是常数时，可归为等比数列。

（2）若f(n)可求积，可用累积约项的方法化简求通项。

13，

2n?12n?1例：已知：

a1?an?an?1（n?2）求数列{an}的通项。

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