初中数学竞赛(几何篇)(7)

易证OE丄CD.

例13．△ABC中∠C=30°，O是外心，I是内心，边AC上的D点与边BC上的

E点使得AD=BE=AB.求证：OI丄DE，OI=DE.

分析：辅助线如图所示，作∠DAO平分线交BC于K. 易证△AID≌△AIB≌△EIB，

∠AID=∠AIB=∠EIB. DAC30° 利用内心张角公式，有

OKI1FE ∠AIB=90°+∠C=105°，

2B ∴∠DIE=360°-105°×3=45°.

1 ∵∠AKB=30°+∠DAO

21 =30°+(∠BAC-∠BAO)

21 =30°+(∠BAC-60°)

21 =∠BAC=∠BAI=∠BEI.

2 ∴AK∥IE.

由等腰△AOD可知DO丄AK，

∴DO丄IE，即DF是△DIE的一条高. 同理EO是△DIE之垂心，OI丄DE. 由∠DIE=∠IDO，易知OI=DE.

例14．锐角△ABC中，O，G，H分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离

和为d外，重心到三边距 A离和为d重，垂心到三边距离和为d垂.

H3求证：1·d垂+2·d外=3·d重. G3O2O3G2分析：这里用三角法.设△ABC外接圆

H2OG半径为1，三个内角记为A，B， IBC. 易知d外=OO1+OO2+OO3 CO1G1H1=cosA+cosB+cosC，

∴2d外=2(cosA+cosB+cosC). ① ∵AH1=sinB·AB=sinB·(2sinC)=2sinB·sinC， 同样可得BH2·CH3.

∴3d重=△ABC三条高的和

=2·(sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB) ②

BH ∴=2，

sin?BCH ∴HH1=cosC·BH=2·cosB·cosC. 同样可得HH2，HH3. ∴d垂=HH1+HH2+HH3

=2(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB) ③ 欲证结论，观察①、②、③，

须证(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB)+( cosA+ cosB+ cosC)=sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB.即可.

练 习 题

1.I为△ABC之内心，射线AI，BI，CI交△ABC外接圆于A′， B′，C ′.则AA′+BB′+CC′＞△ABC周长. 2.△T′的三边分别等于△T的三条中线，且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.

3.I为△ABC的内心.取△IBC，△ICA，△IAB的外心O1，O2，O3.求证：△O1O2O3与△ABC有公共的外心.(

4.AD为△ABC内角平分线.取△ABC，△ABD，△ADC的外心O，O1，O2.则△OO1O2是等腰三角形.

5.△ABC中∠C＜90°，从AB上M点作CA，CB的垂线MP，MQ.H是△CPQ的垂心.当M是AB上动点时，求H的轨迹.(IMO-7)

16.△ABC的边BC=(AB+AC)，取AB，AC中点M，N，G为重心，I为内心.

2试证：过A，M，N三点的圆与直线GI相切.

7.锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1，H2，H3.已知：H1，H2，H3，求作△ABC.

8.已知△ABC的三个旁心为I1，I2，I3.求证：△I1I2I3是锐角三角形.

9.AB，AC切⊙O于B，C，过OA与BC的交点M任作⊙O的弦EF.求证：(1)△AEF与△ABC有公共的内心；(2)△AEF与△ABC有一个旁心重合.

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