反常积分与无穷级数收敛关系讨论毕业论文(4)

第2章 反常积分的收敛方法

通常所讲的反常积分主要包含两类：无穷区间上的反常积分(或称无穷积分)和无界函数的反常积分(或称瑕积分).反常积分和无穷级数在理论和研究方法上几乎是平行的.而通过适当地换元,无穷积分和瑕积分又可以相互转化,因此,只需要对其中一类反常积分进行讨论即可,以下主要以无穷积分为例,探析反常积分与无穷级数收敛性关系.

2.1非负函数无穷积分的收敛判别法

定理2.1[3]（比较判别法） 设定义在 ?a,???上的两个非负函数f和g都在任何有限区?a,u? 上可积,且满足

)x??a,???, f(x)?g(x,

则当

?????ag?x?dx收敛时

???af?x?dx必收敛(或者,当

???af?x?dx发散时

?

ag?x?dx必发散）.

推论2.1（比较判别法的极限形式） :

若f和g都在任何有限区间?a,u?上可积,当x??a,???时,f(x)?0,g(x)?0,f(x)?c,则有： g(x)??且limx??? (i)当0?c???时,?af?x?dx与?g?x?dx同敛态；

a????（ii）当c?0时,有?g?x?dx收敛可推知?a??af?x?dx也收敛；

(iii)当c???时,由?g?x?dx发散可推知?a????af?x?dx也发散.

??

特别地,如果选用?1dx作为比较对象,则我们有如下两个推论（称为柯西xp判别法）.

推论2.2（Cauchy判敛法）:

若f定义于x??a,??? ?a?0?,且在任何有限区间?a,u?上可积,则有：

??1??,x?a,??,且p?1时，f(x)dx收敛； p?ax(i)当0?f(x)? （ii）当f(x)?

??1??,x?a,??,且p?1时，f(x)dx发散. p?ax推论2.3（Cauchy判敛法的极限形式 ）:

若f是定义于?a,???上的非负函数,在任何有限区间?a,u?上可积,且 limxpf(x)??,则有

x??? （i）当p?1,0?????时， ?f(x)dx收敛；a?? (ii)当p?1,0?????时，?f(x)dx发散.

a?? 例2.1 讨论下列无穷积分的收敛性

??3 ?dxx?140

解：limx2?x?????x?arctanx?dx?,所以由推论3知?03x4?1收敛. 1?x322.2一般无穷积分的收敛判别法

这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法

定理2.2（狄利克雷判别法） 若F(u)??f(x)dx在区间上?a,???上有界 ,

aug(x)在?a,???上当x???时单调趋于0,则???af(x)g(x)dx收敛.

定理2.3（阿贝尔判别法） 若???a??af(x)dx收敛 ,g(x)在?a,???上单调有

界 , 则?

f(x)g(x)dx收敛.

例2.2 讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛.

?? ?1sinxdx x解：令x?t2,则dx?2tdt,从而有???1 ??sint??sintsinxdx???2tdt?2?dt,而对任给u?1，11xt2tu1有?sintdt?cos1?cosu?2,而当x???时，单调趋于0，1x??sintsintsin2t故由狄利克雷判别法知?1tdt收敛，又t?t??dt1cos2t??,这里?发散.12t2t2t

所以2?即?????1??sinsintxdt发散，故?dx发散.1tx1sinx在?1，???是条件收敛的.x例2.3 讨论积分???adx (a>0) 的收敛性（p为实数） xp解：当p?1时,因

dx?axp=lnb?lna???（b???）

b所以???a1dx发散． x

当p?1时

?badx11?pb11?p1?px(b?a)=Ip(b) ==ap1?p1?pxp?1p?1.

??,?因为 limIp(b)=?a1?pb?????1?p,?所以积分

???aa1?pdx当p>1时收敛,值为；当p<1时发散 pp?1x

??

例2.4 讨论积分 ?e?a|x|dx (a>0)的收敛性．

??解：因?e?a|x|dx?lim(?0??b???1?axb1e0)?aa

同理?e?a|x|dx?????01a

所以?e?a|x|dx收敛,

?? 且?e?a|x|dx??e?a|x|dx???????0???0e?a|x|dx?2a

2.3本章小结

详细介绍了无穷积分比较判别法、狄利克雷判别法和阿贝尔判别法,用不同的判别法来判断例题的敛散性.

第3章 无穷级数的收敛方法

3.1 无穷级数的概念

给定一个数列{un},对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 u1?u2?u3???un?? （3-1） 称为常数项无穷级数或数项级数（也常简称级数）,其中un称为数项级数(1)的通项或一般项.数项级数(1)也常写作?un或简单写作?un.数项级数(1)的前n项

n?1?之和,记为

Sn??uk?u1?u2?u3???un , （3-2）

k?1n称它为数项级数(1)的第n个部分和,也简称部分和.

若数项级数?un的部分和数列?Sn?收敛于S 即（miln?1?n??,则称?un收Sn?S）

n?1?敛,称S为?un的和,记作

n?1? S?u1?u2?u3???un?? 或 S??un. 若?Sn?是发散数列,则称数项级数（3-1）发散.

3.2正项级数的一般判别方法

定理3.1（正向级数的单调有界判别）正项级数?un收敛的充要条件是：部

分和数列?Sn?有界,即存在某正数M,对一切正整数n有Sn?M.

定理3.2（正项级数的比较原则）设级数?un和?vn是两个正项级数,如果存在某正整数N,对一切n?N都有 un?vn,

则(i)若级数?un收敛,则级数?vn也收敛；

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库反常积分与无穷级数收敛关系讨论毕业论文(4)在线全文阅读。