极坐标系与参数方程
编稿：侯彬 审稿：安东明 责编：辛文升 一、基础知识回顾 1．极坐标系
（1）建系：如图所示，在平面上取一个定点O，由O点出发的一条射线Ox，一个长度单位及计算角度的 正方向（通常取逆时针方向）合称为一个极坐标系。O点称为极点，Ox称为极轴。
平面上任意点M的位置可以由线段OM的长度度来刻画，这两个数组 成的有序数对下，我们用弧度制度 量。
称为点M的极坐标。
（
≥0）和从Ox到OM的角
称为极径，称为极角。多数情况
注意：平面上的点与其极坐标之间不具有一一对应关系，因为若点M的一组极坐标为
，则
（k∈Z）也是点M的极坐标。若限定
，则除原点
外，点其极坐标一
一对应。
（2）极坐标系与直角坐标系的互化
在平面上取定了一个极坐标系，以极轴作为直角坐标系的x轴的正半轴，以的射线作y轴的
正半轴，以极点为坐标原点，长度单位不变，建立一个直角坐标系。 设M为平面上的一点，它的直角坐标为（x，y），极坐标为
。画图可知：
，或。
（3）曲线的极坐标方程的概念
在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程极坐标
满足
。如果曲线C是由
方程的所有点组成的，则称此二元方程为曲线C的极坐标方程。
也就是说：①以方程的解为坐标的点在曲线C上；
②曲线C上的点的至少一组坐标是方程的解。 （4）直线的极坐标方程 ①经过极点：
或
。
。 。
②垂直于极轴且与极点距离为a（＞0）： ③平行于极轴且与极点距离为a（＞0）： （5）圆的极坐标方程
①圆心为极点，半径为r： ②圆心为（r，0），半径为r： ③圆心为
，半径为r：
。
。 。
④圆心为，半径为r：。
⑤圆心为
，半径为r：。
2．参数方程
（1）定义：平面直角坐标系上点的坐标x，y表示为第三个变量t的函数
，参数t是
联系x，y的桥梁，消去t即得到方程F(x，y)=0。
注意：①对t的每一取值，方程组确定的点（x，y）在曲线上；
②线上任一点（x，y）都可由t的某一取值通过方程组可得到。 （2）已知直线经过定点P0(x0，y0)，倾斜角为线上任意一点
，则方向向量
，
，直
P(x，y)满足，则（t为参数）。
注意：参数t的意义：
①t的符号：相对于P0（x0，y0）的位置。②t的绝对值：|P0P|=|t|。
若已知一般的方向向量时参数t就不具
有上述参数方程的意义。
类似于上述过程（t为参数），但此
（3）圆的参数方程：，为参数。
椭圆的参数方程：
，为参数。
二、典型例题
，直线过极点且垂直于极轴，分别求点M关于极轴，直线，
；
。
1．设点
极点的对称点的极坐标。 解：关于极轴： 关于直线： 关于极点：
说明：点的极坐标不唯一，写出一组即可。
2．把下列点的极坐标化为直角坐标：，B（1，2）。
解：（1），，
。
，
。
，，
∴A点直角坐标 （2）
，
，，
∴B点直角坐标
3．把下列点的直角坐标化为极坐标：A（1，－1），B（1，π）
，
，
，
解：（1），又A在第四象限，
∴
∴A点极坐标 （2）限，
∴
∴B点极坐标 （1） 解：（1） （2）∵ （3）
∴(x2+y2)(x－1)=0 （4） ∴
，
，
，
，又B在第一象
4．将下列极坐标方程化为直角坐标方程。
；（2）
；（3）
；（4）
。
，∴直角坐标方程为x2+y2=1 曲线经过极点，∴
∴
，∴x2+y2=y
曲线经过极点
∴(x2+y2)2=2a2xy
5．求直线的倾斜角。
解：法一：直线的方向向量，∴倾斜角为
法二：消去t，将直线方程化为普通方程为，
即
，∴斜率，倾斜角为。
6．设直线经过点M（1，1），倾斜角为。
（1）写出直线的参数方程；
（2）求直线与直线的交点P的坐标及|PM|。
解：（1）的参数方程为
（2）由（1）知，解方程，得
∴P点坐标为 即 距离。
7．直线经过点A（1，3）且与
，且
，
共线，求点P（―2，―1）到直线的
解：的参数方程
设P到点的距离为d， ∴
设
∴P到的距离为
。
∴当时
8．求椭圆上的点到M（2，0）的距离的最小值。
，M到椭圆上点的距离为d
解：设椭圆上点坐标 ∴
当时
∴椭圆上点到M（2，0）的距离最小值为
。
三、课后练习
表示的曲线是（ ）
1．极坐标方程
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线
2．已知动圆方程，那么圆心的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．椭圆的一部分 C．抛物线 D．抛物线的一部分
3．圆
4．曲线
与
的交点的极坐标是________。 的圆心的极坐标是________。
5．圆心在（2，1），半径为4的圆在直线
上所截的弦长为________。
参考答案：
1．B 2．D 3． 4．， 5．8
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