2018年全国2卷文科数学十年真题分类汇编9 圆锥曲线(3)

所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．

8. 【2006全国2，文22】（本小题满分１２分）

????????已知抛物线x?4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且AF??FB(??0).过A、B两点分别作抛

2物线的切线，设其交点为M。

?????????（I）证明FM?AB为定值；

（II）设?ABM的面积为S，写出S?f(?)的表达式，并求S的最小值。 【解析】：(Ⅰ)由已知条件，得F(0，1)，λ＞0． →→设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由AF＝λFB， 即得 (－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)，

??－x1＝λx2 ①? ?1－y1＝λ(y2－1) ②?

12122

将①式两边平方并把y1＝x1，y2＝x2代入得 y1＝λy2 ③

4412

解②、③式得y1＝λ，y2＝，且有x1x2＝－λx2＝－4λy2＝－4，

λ

121

抛物线方程为y＝x，求导得y′＝x．

42所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是

y＝x1(x－x1)＋y1，y＝x2(x－x2)＋y2，

112112

即y＝x1x－x1，y＝x2x－x2．

2424解出两条切线的交点M的坐标为(

1212

x1＋x2x1x2

2

，4

)＝(

x1＋x2

2

，－1)． ??4分

→→x1＋x21212122

所以FM·AB＝(，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝(x2－x1)－2(x2－x1)＝0

2244→→所以FM·AB为定值，其值为0． ??7分

9. 【2005全国2，文22】(本小题满分14分)

????????y2?1上，F为椭圆在轴正半轴上的焦点．已知PF与FQ共线，P、Q、M、N四点都在椭圆x?2??????????????????MF与FN共线，且PF?MF?0．求四边形PMQN的面积的最小值和最大值．

2【解析】：如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0,1)，且PQ⊥MN，直线PQ、NM中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为K，又PQ过点F(0,1)，故PQ的方程为y=kx+1

22将此式代入椭圆方程得(2+k)x+2kx－1=0

设P、Q两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则

?k?2k2?2?k?2k2?2 x1?,x2?222?k2?k8(1?k2)2从而|PQ|?(x1?x2)?(y1?y2)? 22(2?k)22222(1?k2)亦即|PQ|? 22?k

1222(1?(1?))1k(1)当≠0时，MN的斜率为－，同上可推得|MN|?

1k2?(?)2k112)4(2?k?)221kk 故四边形面积S?|PQ||MN|? ?12222(2?k)(2?2)5?2k?2kk4(1?k2)(1?2令=k?14(2?u)1S??2(1?) 得2k5?2u5?2u1≥2 2k2∵=k?

10. 【2016新课标2文数】(本小题满分12分)

x2y2已知A是椭圆E：??1的左顶点，斜率为k?k?0?的直线交E于A，M两点，点N在E上，

43MA?NA.

(Ⅰ)当AM?AN时，求△AMN的面积 (Ⅱ) 当2AM?AN时，证明：3?k?2. 【答案】（Ⅰ）【解析】

144；（Ⅱ）详见解析. 49x2y2将x?y?2代入??1得7y2?12y?0.

43解得y?0或y?1212，所以y1?. 77因此?AMN的面积S?AMN?2??11212144??. 27749x2y2（Ⅱ）将直线AM的方程y?k(x?2)(k?0)代入??1得

43(3?4k2)x2?16k2x?16k2?12?0.

216k2?122(3?4k2)121?k2由x1?(?2)?得x1?，故|AM|?|x1?2|1?k?.

23?4k23?4k23?4k2112k1?k由题设，直线AN的方程为y??(x?2)，故同理可得|AN|?.

2k3k+4由2|AM|?|AN|得

2k?，即4k3?6k2?3k?8?0. 223?4k3k+4设f(t)?4t3?6t2?3t?8，则是f(t)的零点，f?(t)?12t2?12t?3?3(2t?1)2?0，所以f(t)在

(0,??)单调递增.又f(3)?153?26?0,f(2)?6?0，因此f(t)在(0,??)有唯一的零点，且

零

点在(3,2)内，所以3?k?2.

【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系

【名师点睛】对于直线与椭圆的位置关系问题，通常将直线方程与椭圆方程联立进行求解，注意计算的准确性.

11. 【2012全国新课标，文20】设抛物线C：x＝2py(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．

(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为42，求p的值及圆F的方程；

(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．

2

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