高数第八章 多元函数 复习题答案(2)

解：设F(x,y,z)?sin(x?2y?3z)?x?2y?3zFx?cos(x?2y?3z)?1Fy?cos(x?2y?3z)(?2)?2Fz?cos(x?2y?3z)?3?3Fx?zcos(x?2y?3z)?11?cos(x?2y?3z)???????xFz3cos(x?2y?3z)?33cos(x?2y?3z)?3Fy?z?2cos(x?2y?3z)?22cos(x?2y?3z)?2??????yFz3cos(x?2y?3z)?33cos(x?2y?3z)?3

11、求由方程xy?sinz?y?2z?0确定的函数z?z(x,y)的全微分dz.

.解：设F(x,y,z)?xy?sinz?y?2zFx?yFy?x?1Fz?cosz?2FyFx?zyy?zx?1x?1??????,??????xFzcosz?22?cosz?yFzcosz?22?cosz ?z?zyx?1则dZ?.dx?dy?dx?dy?x?y2?cosz2?cosz 12、设lnx2?y2?arctanydy，求. xdx解：方程两边分别对x求导:y'?x?y21y12x?2y?y'x?yy'xy'?y22xln(x?y)?arctan??22??22?22,y22x2x?yx?yx?y 1?()xx?y即x?yy'?xy'?y,经整理得:y'?x?y

四、证明题：

1. 设z?f(x2?y2),f可微，求证：y?z?z?x?0 ?x?y证明:??z?z?f'?2x?2xf'?f'?2y?2yf'?x?y

?z?z?左式?y??x??2xyf?2xyf'?0?右式，证毕。?x?yy1?z1?zz其中可导，求证： f(u),??f(x2?y2)x?xy?yy2 2. 设z?证明:?z?yf?1(x2?y2)?z2xyf'???yf?2?f'?2x??2?xff?2y2f'?yf?f'?(?2y)?f21?z1?z2yf'12yf'11z则左式??????2??2???2?右式，证毕。yyx?xy?yyfyfffy?z?z?f?y?1?2

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