高数第八章 多元函数 复习题答案

第八章 一、单项选择题：

多元函数微分学 复习题答案

A ）

1、以下各式中不正确的有（

1?x2?y2y?0A、lim B、lim?1 22x??22x?0x?yx?yy??y?1 C、limx?1y?0ln(x?ey)x2?y2?ln2 D、limxy不存在

x?0x2?y2y?02、设z?esinx?2z? ( cosy ，则

??y?x（0，）2B )

A、0 B、－1 C、1 D、e

223、设函数z?ln1?x?y ，则它在点(1,1)处的全微分dz? ( A )

A、(dx?dy) B、dx?dy C、3(dx?dy) D、2(dx?dy)

13 4、f(x,y)在点(x0,y0)处具有连续偏导数是f(x,y)在点(x0,y0)处可微的（ B ） A. 必要条件 B. 充分条件 C. 充要条件 D. 无关条件

?zxy?（ D ） 5、函数z?xe，则?xxyxy A.xye B.xe C.e D.?1?xy?e

2xyxy 6、函数z?xy在（0，0）处（ D ）

A.?0,0?不是驻点 B.有极小值 C. 有极大值 D. 无极值

7.函数z?f[x,y]的偏导数?z?z,在点[x,y]连续,是函数在该点可微的(?x?yB )；A.必要条件;B.充分条件;C..充要条件;D.无关条件.

二、填空题：

sinxy21、lim? 2 ； 2(x,y)?(2,0)y?z 2、设z?y?e，则

?yx2xy21?e? ；

(1,2)

3、函数

z?19?x?y22?ln(x2?y2?1)的定义域是

{(x,y)|1?x2?y2?9} ；

4、函数z?x2y2在点(2,?1)处当?x?0.02,?y??0.01时的全微分，dz? 0.16 5

、

函

数

z?4x?y2ln1?x?y22的连续区域为

2y{(x,y)|x2?y2?1,x?0,y?0,x?} ；

46、设z?z?x,y?是由方程x?ln?zz? ； 确定的隐函数，则?xyz?xy22,x?y?0?227、函数f(x,y)??x?y在点(0,0)处 不连续 ；

?0,x2?y2?0?（填写“连续”或“不连续”）

8、若函数z?f(x,y)可微，y?x2,则函数z?f(x,x2)的全导数

dz? dx22f?2xf'x'y

9、函数z?ln1?x?y在点（1，1）处的全微分dz? 1(dx?dy) 3

1x 10、设z?ln(1?)，则dz? (dx?dy) ；

2y(1,1)?1?x2?y2 11、lim?1??= 1 ；

x??x??y?0 12.各偏导数的存在只是全微分存在的x2必要——————条件而不是充分——————条件;

三、计算题：

1、设z?uv,u?3x2?y2,v?4x?2y,求

?z?z,。 ?x?y解：?z?z?u?z?v?????vuv?1?6x?uvlnu?4?x?u?x?v?x6x(4x?2y)22?(3x2?y2)4x?2y[?4ln(3x?y)]223x?y?z?z?u?z?v?????vuv?1?2y?uvlnu?2 ?y?u?y?v?y2y(4x?2y)22?(3x2?y2)4x?2y[?2ln(3x?y)]223x?yx2?2z2、设z?tan,求；

y?x?y22?z2x2x2x2x解：?sec??sec?xyyyy2?2z2x2xx2x2x22x2x???2sec??2?sec?sectan(?2)] ?x?yyyyyyyy22x4xx22x??2sec(1?tan)yyyyxey?z?z?2z3、设z?2，求. ,,y?x?y?x?y?zey解：?2?xy,?zxey?y2?2y?xeyxey,??3(y?2)4?yyyyy2yy?z?ee?y?2y?ee?(2)??(y?2)43?x?y?yyyy?z?z，. ?x?y

,4、已知z?u2v?uv2,u?xcosy,v?xsiny，求

解：?z?z?u?z?v?????(2uv?v2)cosy?(u2?2uv)siny?x?u?x?v?x?(sin2y?sin2y)x2cosy?(cos2y?sin2y)x2siny?z?z?u?z?v?????(2uv?v2)(?xsiny)?(u2?2uv)xcosy?y?u?y?v?y ??(sin2y?sin2y)x3siny?(cos2y?sin2y)x3cosy?x3[(cos2y?sin2y)cosy?(sin2y?sin2y)siny]x?y?2z 5、设z?，求；

x?y?x?y?z(x?y)?(x?y)2y解：??2?x(x?y)(x?y)2

,?2z2(x?y)2?2(x?y)?2y2(x2?y2)2(x?y) ???44?x?y(x?y)(x?y)(x?y)3xy16、设z???z?z?2z； edt，求，，

?x?y?x?yt2xy2?zt'(xy)2'x2y2解：?(?edt)x?e?(xy)x?ye?x1xy2?zt'(xy)2'x2y2;?(?edt)y?e?(xy)y?xe1?y

?2zx2y2x2y22x2y2?e?ye?2xy?e(1?2x2y2)?x?y7、设方程xyz?xz?yz?1确定函数z?f(x,y)，求

?z?z，； ?x?y解：设F(x,y,z)?xyz?xz?yz?1Fx?yz?zFy?xz?zFz?xy?x?yFx?zyz?zz(1?y)??????,?xFzxy?x?yxy?x?y

Fy?zxz?zz(1?x)?????.?yFzxy?x?yxy?x?y

8、设f(x,y)?(x?y)e22?arctanyx?2f，求；

?x?yy?2yyy?arctan?arctan?arctan?fxxx解:?2xe?(x2?y2)e?[?x]?e(2x?y)y?x1?()2x1yyy?arctan?arctan?arctan?2fx(2x?y)xxx??e?(2x?y)e?[?x]?e[1?22]y?x?yx?y1?()2xyy2?x2?xy?arctanx?22ex?y

9、设方程x3?y3?z3?xyz?6?0确定函数z?z(x,y)，求在点(1,2)处的偏导数

?z?z,； ?x?y解：设F(x,y,z)?x3?y3?z3?xyz?6Fx?3x2?yzFy?3y2?xzFz?3z2?xyFx?z3x2?yz?z3?21?????2则|x?1,y?2,z??1???? ?x Fz?x553z?xyFy?z3y2?xz?z12?111????2则|x?1,y?2,z??1?????yFz?y553z?xy10、设由方程sin(x?2y?3z)?x?2y?3z确定的函数z?z(x,y)，求

?z?z,； ?x?y

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