二次函数综合（动点与三角形）问题方法与解析(2)

九年级数学专项训练《二次函数》 ∴N1（0，0）； （II）若BD为直角边，B为直角顶点，则点N在x轴负半轴上， ∵OB=OD=ON2=3， ∴N2（﹣3，0）； （III）若BD为直角边，D为直角顶点，则点N在y轴负半轴上， ∵OB=OD=ON3=3， ∴N3（0，﹣3）． ∴满足条件的点N坐标为：（0，0），（﹣3，0）或（0，﹣3）． （3）假设存在点P，使S△PBD=6，设点P坐标为（m，n）． （I）当点P位于直线BD上方时，如答图2所示： 过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=n，DE=m﹣3． S△PBD=S梯形PEOB﹣S△BOD﹣S△PDE=（3+n）?m﹣×3×3﹣（m﹣3）?n=6， 化简得：m+n=7 ①， ∵P（m，n）在抛物线上， 2∴n=m﹣4m+3， 2代入①式整理得：m﹣3m﹣4=0， 解得：m1=4，m2=﹣1， ∴n1=3，n2=8， ∴P1（4，3），P2（﹣1，8）； （II）当点P位于直线BD下方时，如答图3所示： 过点P作PE⊥y轴于点E，则PE=m，OE=﹣n，BE=3﹣n． S△PBD=S梯形PEOD+S△BOD﹣S△PBE=（3+m）?（﹣n）+×3×3﹣（3﹣n）?m=6， 化简得：m+n=﹣1 ②， ∵P（m，n）在抛物线上， 2∴n=m﹣4m+3， 2代入②式整理得：m﹣3m+4=0，△=﹣7＜0，此方程无解． 故此时点P不存在． 综上所述，在抛物线上存在点P，使S△PBD=6，点P的坐标为（4，3）或（﹣1，8）． 第6页

九年级数学专项训练《二次函数》 点本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的判定与评： 性质、图形面积计算、解一元二次方程等知识点，考查了数形结合、分类讨论的数学思想．第（2）（3）问均需进行分类讨论，避免漏解． 三、形成训练

1．（2013?湘西州）如图，已知抛物线y=﹣x+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）． （1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；

（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式； （3）试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；

（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若不存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

2

考点： 二次函数综合题． 分析： （1）利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或利用公式x=方程；

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求出对称轴 九年级数学专项训练《二次函数》 （2）在抛物线解析式中，令x=0，可求出点C坐标；令y=0，可求出点B坐标．再利用待定系数法求出直线BD的解析式； （3）根据，∠AOC=∠BOC=90°，可以判定△AOC∽△COB； （4）本问为存在型问题．若△ACQ为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解． 解答： 2解：（1）∵抛物线y=﹣x+bx+4的图象经过点A（﹣2，0）， ∴﹣×（﹣2）+b×（﹣2）+4=0， 解得：b=， ∴抛物线解析式为 y=﹣x+x+4， 又∵y=﹣x+x+4=﹣（x﹣3）+∴对称轴方程为：x=3． （2）在y=﹣x+x+4中，令x=0，得y=4，∴C（0，4）； 令y=0，即﹣x+x+4=0，整理得x﹣6x﹣16=0，解得：x=8或x=﹣2， ∴A（﹣2，0），B（8，0）． 设直线BC的解析式为y=kx+b， 把B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式，得： ， 解得k=，b=4， x+4． 2222222， ∴直线BC的解析式为：y= （3）可判定△AOC∽△COB成立． 理由如下：在△AOC与△COB中， ∵OA=2，OC=4，OB=8， ∴， 又∵∠AOC=∠BOC=90°， ∴△AOC∽△COB． （4）∵抛物线的对称轴方程为：x=3， 可设点Q（3，t），则可求得： AC===， 第8页

九年级数学专项训练《二次函数》 AQ=CQ==， =． i）当AQ=CQ时， 有22=， 25+t=t﹣8t+16+9， 解得t=0， ∴Q1（3，0）； ii）当AC=AQ时， 有2=， t=﹣5，此方程无实数根， ∴此时△ACQ不能构成等腰三角形； iii）当AC=CQ时， 有2=， 整理得：t﹣8t+5=0， 解得：t=4±， ∴点Q坐标为：Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）． 综上所述，存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）． 点评： 本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的判定、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点．难点在于第（4）问，符合条件的等腰三角形△ACQ可能有多种情形，需要分类讨论． 2 ：已知：直线y?11x?1与y轴交于A，与x轴交于D，抛物线y?x2?bx?c与直线交22于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为 （1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）

动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标．

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九年级数学专项训练《二次函数》

3、如图，抛物线y??122x?x?2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．（1）求22A、B、C三点的坐标；（2）证明△ABC为直角三角形；（3）在抛物线上除C点外，是否

还存在另外一个点P，使△ABP是直角三角形，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请

说明理由．

4、如图，已知抛物线y??224x?x?2的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛33物线的对称轴与x轴交于点D． 点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度向B运动，过

M作x轴的垂线，交抛物线于点P，交BC于Q． （1）求点B和点C的坐标；

（2）设当点M运动了x（秒）时，四边形OBPC的面积为S，求S与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．

（3）在线段BC上是否存在点Q，使得△DBQ 成为以为一腰的等腰三角形？若存在， ．BQ．．．．．求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．

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九年级数学专项训练《二次函数》

5、（09年成都）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=a(x?1)2?c(a?0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，其顶点为M,若直线MC的函数表达式为y?kx?3,

与x轴的交点为N，且COS∠BCO＝

310。 10(1)求此抛物线的函数表达式；

(2)在此抛物线上是否存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；

(3)过点A作x轴的垂线，交直线MC于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?

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