圆的复习教案（全面经典）(3)

圆满解决此题．

解：（1）由AB·CG=AC·BC得h= （2）∵h= 则S =－

h?DNh10?NFABAC?BCAB?8?610=4.8

2

且DN=x ∴NF=

2512252

10(4.8?x)4.825122

四边形DEFN

=x·4.8（4.8－x）=－

2

x+10x=－（x－

12025x）

2512x625252522

∵－（x－2.4）≤0 ∴－（x－2.4）+12≤12 且当x=2.4时，取等号

xx [（x－

6025）－

3600]=－（x－2.4）+12

∴当x=2.4时，SDEFN最大．

（3）当SDEFN最大时，x=2.4，此时，F为BC中点，在Rt△FEB中，EF=2.4，BF=3． ∴BE=

DE?EF22?3?2.4=1.8 22 ∵BM=1.85，∴BM>EB，即大树必位于欲修建的水池边上，应重新设计方案． ∵当x=2.4时，DE=5 ∴AD=3.2，

由圆的对称性知满足条件的另一设计方案，如图所示:

CGAFB DEwww.czsx.com.c此时，?AC=6，BC=8，AD=1.8，BE=3.2，这样设计既满足条件，又避开大树．

8.弧长和扇形、圆锥侧面积面积

重点：n°的圆心角所对的弧长L=它们的应用．

难点：公式的应用． 1．n°的圆心角所对的弧长L=

n?R180n?R180，扇形面积S扇=

n?R3602、圆锥侧面积面积及其

n?R36022．圆心角为n°的扇形面积是S扇形=

3.全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的，所以全面积=?rL+r2．

例1．操作与证明：如图所示，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O处，并将纸板绕O点旋转，求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．

解题思路：如图所示，不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB、AD?分别交于点M、N，连结OA、OD． ∵四边形ABCD是正方形

∴OA=OD，∠AOD=90°，∠MAO=∠NDO， 又∠MON=90°，∠AOM=∠DON ∴△AMO≌△DNO ∴AM=DN ∴AM+AN=DN+AN=AD=a

特别地，当点M与点A（点B）重合时，点N必与点D（点A）重合，此时AM+AN仍为定值a．故总有正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．

例2．已知扇形的圆心角为120°，面积为300?cm2． （1）求扇形的弧长；

（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？ 解题思路：（1）由S

=n?R3602扇形

求出R，再代入L=

n?R180求得．（2）若将此扇形卷成

一个圆锥，?扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长，就可求圆的半径，其截面是一个以底是直径，?圆锥母线为腰的等腰三角形．

解：（1）如图所示： ∵300?=

120?R3602[来源学。科。网Z。X。X。K]

∴R=30

=20?（cm）

∴弧长L=

120???30180（2）如图所示：

∵20?=20?r ∴r=10，R=30 AD=900?100=202 ∴S =

12轴截面

=

12×BC×AD

×2×10×202=2002（cm2）

因此，扇形的弧长是20?cm卷成圆锥的轴截面是2002cm2．

9.圆的综合应用

考查目标一、主要是指圆的基础知识，包括圆的对称性，圆心角与弧、弦之间的相等关系，圆周角与圆心角之间的关系，直径所对的圆周角是直角，以及垂径定理等内容。这部分内容是圆的基础知识，学生要学会利用相关知识进行简单的几何推理和几何计算

?例1、如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交BC于D．

(1)请写出五个不同类型的正确结论； (2)若BC=8，ED＝2，求⊙O的半径． 解题思路：运用圆的垂径定理等内容 解：(1)不同类型的正确结论有：

①BE=CE ;②弧BD=弧CD ③∠BED=90°④∠BOD=∠A;⑤AC∥OD，⑥AC⊥BC; ⑦OE+BE=OB;⑧S△ABC＝BC·OE;⑨△BOD是等腰三角形，⑩△BOE∽△BAC; (2)∵OD⊥BC， ∴BE＝CE=

122

2

2

BC=4．

设⊙O的半径为R，则OE=OD－DE=R－2． 在Rt△OEB中，由勾股定理得

OE2＋BE2=OB2，即(R－2)2＋42=R2．解得R＝5． ∴ ⊙ O的半径为5

例2.已知：如图等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧PC上的一点（端点除外），延长BP至D，使BD?AP，连结CD．

（1）若AP过圆心O，如图①，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由． （2）若AP不过圆心O，如图②，△PDC又是什么三角形？为什么？ 解题思路：（1）△PDC为等边三角形． 理由：∵△ABC为等边三角形

∴AC?BCA A ，

B O C P 图①

O B P D

图②

又∵在⊙O中?PAC??DBC 又∵AP?BD

C D ∴△APC≌△BDC． ∴PC?DC[来源:Zxxk.Com]

又∵AP过圆心O，AB?AC，?BAC?60°

∴?BAP??PAC?12?BAC?30°

∴?BAP??BCP?30°，?PBC??PAC?30°

∴△PDC为等边三角形．

∴?CPD??PBC??BCP?30°?30°?60°

（2）△PDC仍为等边三角形

理由：先证△APC≌△BDC（过程同上） ∴PC?DC

∵?BAP??PAC?60°

又∵?BAP??BCP，?PAC??PBC

∴?CPD??BCP??PBC??BAP??PAC?60°

又∵PC?DC ∴△PDC为等边三角形．

例3.(1)如图OA、OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C是OB延长线上任意一点：过点C作CD切⊙O于点D，连结AD交DC于点E．求证：CD=CE

(2)若将图中的半径OB所在直线向上平行移动交OA于F，交⊙O于B’，其他条件不变，那么上述结论CD=CE还成立吗?为什么?

(3)若将图中的半径OB所在直线向上平行移动到⊙O外的CF，点E是DA的延长线与CF的交点，其他条件不变，那么上述结论CD=CE还成立吗?为什么

解题思路：本题主要考查圆的有关知识，考查图形运动变化中的探究能力及推理能力． 解答：(1)证明：连结OD 则OD⊥CD，∴∠CDE+∠ODA=90° 在Rt△AOE中，∠AEO+∠A=90°

在⊙O中，OA=OD∴∠A=∠ODA， ∴∠CDE=∠AEO 又∵∠AEO=∠CED，∠CDE=∠CED ∴CD=CE (2)CE=CD仍然成立．

∵原来的半径OB所在直线向上平行移动∴CF⊥AO于F， 在Rt△AFE中，∠A+∠AEF=90°．

连结OD，有∠ODA+∠CDE=90°，且OA=OD ．∠A=∠ODA ∴∠AEF=∠CDE 又∠AEF=∠CED ∴∠CED=∠CDE∴CD=CE (3)CE=CD仍然成立．

[来源:ZxxkCom]

∵原来的半径OB所在直线向上平行移动．AO⊥CF 延长OA交CF于G，在Rt△AEG中，∠AEG+∠GAE=90°

连结OD，有∠CDA+∠ODA=90°，且OA=OD∴∠ADO=∠OAD=∠GAE ∴∠CDE=∠CED ∴CD=CE

考查目标二、主要是指点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系的相关内容。学生要学会用动态的观点理解和解决与圆有关的位置关系的问题。

例1、AB是⊙O的直径，PA切⊙O于A，OP交⊙O于C，连BC．若?P?30?，求?B的度数．

解题思路：运用切线的性质 .

O于A，AB是⊙O的直径， ∴?PAO?90． ?PA切⊙

???P?30，∴?AOP?60．∴?B???[来源学。科。网Z。X。X。K]A P

O

B C 12?AOP?30

?例2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE?CD，垂足为E，DA平分?BDE．

（1）求证：AE是⊙O的切线；

（2）若?DBC?30，DE?1cm，求BD的长． 解题思路：运用切线的判定

（1）证明：连接OA，?DA平分?BDE，??BDA??EDA．

?OA?OD，??ODA??OAD．??OAD??EDA． ?OA∥CE．

?AE?DE，??AED?90，?OAE??DEA?90．

???A E D B

O C ?AE?OA．?AE是⊙O的切线．

A ?E D （2）?BD是直径，??BCD??BAD?90．

??DBC?30，?BDC?60，??BDE?120．

???B O C

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