圆的复习教案（全面经典）(2)

例2．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=??∠A． （1）CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由． （2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径．

解题思路：（1）要说明CD是否是⊙O的切线，只要说明OC是否垂直于CD，垂足为C，?因为C点已在圆上．

由已知易得：∠A=30°，又由∠DCB=∠A=30°得：BC=BD=10 解：（1）CD与⊙O相切 理由：①C点在⊙O上（已知） ②∵AB是直径

∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90° ∵∠A=∠OCA且∠DCB=∠A ∴∠OCA=∠DCB ∴∠OCD=90° 综上：CD是⊙O的切线． （2）在Rt△OCD中，∠D=30°

∴∠COD=60° ∴∠A=30° ∴∠BCD=30° ∴BC=BD=10 ∴AB=20，∴r=10

答：（1）CD是⊙O的切线，（2）⊙O的半径是10．

CAOBD5.圆与圆的位置关系

重点：两个圆的五种位置关系中的等价条件及它们的运用． 难点：探索两个圆之间的五种关系的等价条件及应用它们解题． 外离：两圆没有公共点，一个圆上所有的点都在另一个圆的外部相离： 内含：两圆没有公共点，一个圆上所有的点都在另一个圆的内部 相切：

外切：两圆只有一个公共点，除公共点外一个圆上所有的点都在另一个圆的外部 内切：两圆只有一个公共点，除公共点外一个圆上所有的点都在另一个圆的内部 相交：两圆只有两个公共点。

设两圆的半径分别为r1、r2，圆心距（两圆圆心的距离）为d，则有两圆的位置关系，d与r1和r2之间的关系．

外离?d>r1+r2 外切?d=r1+r2

相交?│r1－r2│

内含?0≤d<│r1－r2│（其中d=0，两圆同心）

例1．两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图1所示（点O，O′是圆心），分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小．

（1） (2)

解题思路：要求∠TPN，其实就是求∠OPO′的角度，很明显，∠POO′是正三角形，如图2所示．

解：∵PO=OO′=PO′ ∴△PO′O是一个等边三角形 ∴∠OPO′=60° 又∵TP与NP分别为两圆的切线，∴∠TPO=90°，∠NPO′=90° ∴∠TPN=360°－2×90°－60°=120°

例2．如图1所示，⊙O的半径为7cm，点A为⊙O外一点，OA=15cm， 求：（1）作⊙A与⊙O外切，并求⊙A的半径是多少？

OA

(1) (2)

(2）作⊙A与⊙O相内切，并求出此时⊙A的半径．

解题思路：（1）作⊙A和⊙O外切，就是作以A为圆心的圆与⊙O的圆心距d=rO+rA；（2）?作OA与⊙O相内切，就是作以A为圆心的圆与⊙O的圆心距d=rA－rO．

解：如图2所示，（1）作法：以A为圆心，rA=15－7=8为半径作圆，则⊙A?的半径为8cm

（2）作法：以A点为圆心，rA′=15+7=22为半径作圆，则⊙A的半径为22cm 例3．如图所示，点A坐标为（0，3），OA半径为1，点B在x轴上． （1）若点B坐标为（4，0），⊙B半径为3，试判断⊙A与⊙B位置关系； （2）若⊙B过M（－2，0）且与⊙A相切，求B点坐标．

（1）AB=5>1+3，外离．

（2）设B（x，0）x≠－2，则AB=9?x2，⊙B半径为│x+2│， ①设⊙B与⊙A外切，则9?x2=│x+2│+1，

当x>－2时，9?x2=x+3，平方化简得：x=0符题意，∴B（0，0）， 当x<－2时，9?x2=－x－1，化简得x=4>－2（舍）， ②设⊙B与⊙A内切，则9?x2=│x+2│－1，

当x>－2时，9?x2=x+1，得x=4>－2，∴B（4，0）， 当x<－2时，9?x2=－x－3，得x=0，

6. 圆与三角形的关系

1、不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 2、三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆。

3、三角形的外心：三角形三边垂直平分线的交点，即三角形外接圆的圆心。 4、三角形的内切圆：与三角形的三边都相切的圆。

_y _A _O _x 5、三角形的内心：三角形三条角平分线的交点，即三角形内切圆的圆心。

例1 如图，通过防治“非典”，人们增强了卫生意识，大街随地乱扔生活垃圾的人少了，人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中，如图24－49所示，A、B、C?为市内的三个住宅小区，环保公司要建一垃圾回收站，为方便起见，?要使得回收站建在三个小区都相等的某处，请问如果你是工程师，你将如何选址．

ACwww.czsx.com.cn解题思路： 连结AB、BC，作线段AB、BC的中垂线，两条中垂线的交点即为垃圾回

收站所在的位置．

例2 如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°， 则∠BOC=（ ）

A．130° B．100° C．50° D．65°

B

解题思路：此题解题的关键是弄清三角形内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点，答案A

例3 如图，Rt△ABC，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则它的外心与顶点C的距离为

A（ ）．

A．5 cm B．2.5cm C．3cm D．4cm

解题思路：直角三角形外心的位置是斜边的中点，答案 B B

C7.正多边形和圆

重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、?边长之间的关系． 难点：使学生理解四者：正多边形半径、中心角、?弦心距、边长之间的关系．正多边形的中心：所有对称轴的交点； 正多边形的半径：正多边形外接圆的半径。 正多边形的边心距：正多边形内切圆的半径。

正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角。

正n边形的n条半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形，每个等腰三角形又被相应的边心距分成两个全等的直角三角形。

[来源学科网]

例1．如图，已知正六边形ABCDEF，其外接圆的半径是a，?求正六边形的周长和面积．

解题思路：要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OM⊥AB垂于M，在Rt△AOM?中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长．正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的．

解：如图所示，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．

因此，所求的正六边形的周长为6a 在Rt△OAM中，OA=a，AM= 利用勾股定理，可得边心距 1212 OM=a?(a)=223a 360?6=60°，??△OBC

EOD12AB=

12a

FACMB3113 ∴所求正六边形的面积=6××AB×OM=6××a×a=

22223a2

例2．在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆圆周上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC?的矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，如图24－94的设计方案是使AC=8，BC=6．

（1）求△ABC的边AB上的高h． （2）设DN=x，且

h?DNh?NFAB，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？

（3）实际施工时，发现在AB上距B点1．85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．

CNhADGEB

解题思路：要求矩形的面积最大，先要列出面积表达式，再考虑最值的求法，初中阶段，尤其现学的知识，应用配方法求最值．（3）的设计要有新意，?应用圆的对称性就能

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