《数理统计》课后题答案（西交大版）(3)

２）．其似然函数为

L(P)??(1?P)p?p(1?p)xi?1`nnXi?n?i?1ni?1

lnL(P)?nlnp?(?Xi?n)ln(1?p)i?1n

ndlnLn1??(?Xi?n)?0dpp1?pi?1

p??n解之得

?Xi?1n?i1X

３． 解：因为总体Ｘ服从Ｕ（a，b）所以

2a?b（a-b）n! D（X）=212r!?n?r?!2令E（X）=X D（X）=S，1nS2=?(Xi?X)2 ni?1a+b??X? ?2?2（a?b）??S2??12??a??X?3S ????b?X?3S E（X）?4. 解：（1）设1nni?1x,x2,?xn为样本观察值则似然函数为：

ni?iL(?)??(?xi)??1,0?xi?1,i?1,2,?,nlnL(?)?nln??（?-1）?lnxindlnLn??lnxi?0d???i?1

???????n?lnxi?1nnin解之得：

?lnxi?1i

（2）母体X的期望

E(x)??????xf(x)dx???xdx??01???1

而样本均值为：

10

1nX??xini?1令E(x)?X得?X??1?X 5.。解：其似然函数为：

??xi1??1?i?1L(?)???e??en2?(2?)i?1令1nlnL(?)??nln(2?)??xi?0nxi1n?i?1得：???x??i?11ni

xx??x（2）由于

E???????xe2??x?dx?2???0xe2???dx??xe??0????0e??dx??1n1n1E(?)?E(?xi)?E(x)??n????ini?1ni?1n

1n???xi所以ni?1 为?的无偏估计量。

?6. 解：其似然函数为：

kn?k(k?1)n???xni?(L(?)??xie)?xi(k?1)e??xi(k?1)!i?1i?1(k?1)!

L??nkdlnL(?)nk??d??n??k?nn?Xi???Xii?1i?1

?Xi?1i?0解得

??

?nk?Xi?1nk?Xi1f(x)?,0?x??,?

11

７．解：由题意知：均匀分布的母体平均数????0?2?2，

方差?2?(??0)2?212?12 用极大似然估计法求?得极大似然估计量 似然函数：L(?)??n1 0?minxi?maxxi?1?ni)1?i?ni??

(选取?使L达到最大

取???maxxi

1?i?n由以上结论当抽得容量为6的子样数值1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1，时???2?2.2即????2.2?2.22?1.1, ?2???12?12?0.4033 8. 解：取子样值为(x1,x2,?xn),(xi??)

则似然函数为： L(?)??ne?(xi??) xi??

i?1lnL(?)???n(xi??)???nxi?n?

i?1i?1要使似然函数最大，则需?取min(x1,x2,?,xn)

即?=min(x1,x2,?xn)

9. 解：取子样值(x1,x2,?,xn)(xi?0) n则其似然函数L(?)??n?e??x??ne??i?xii?1

i?1lnL(?)?nln????nxlnL(?)nn?n1i ??i?1d???xi ??? i?1?nxxii?1由题中数据可知

x?11000(365?5?245?15?150?25?100?35?70?45?45?55?25?65)?20 则 ???120?0.05

10. 解：（1）由题中子样值及题意知：

12

?1极差R?6.2?1.5?4.7 查表2-1得?0.4299 故??0.4299?4.7?2.0205

d5?1（2）平均极差R?0.115，查表知?0.3249 ??0.3249?0.115?0.0455

d10解：设u为其母体平均数的无偏估计，则应有??x 又因x????1(8?1?40?3?10?6?2?26)?4 60即知??4

12. 解：?X~N(?,1)

12?E(xi)?? ，D(xi)?1， (i?1,2) 则E(?1)?EX1?EX2??

33?13E(?2)?EX1?EX2??

44?11E(?3)?EX1?EX2??

22?所以三个估计量?1,?2,?3均为?的无偏估计

???2141415D(?)?D(X1?X2)?DX1?DX2???

3399999??51同理可得D(?2)?，D(?2)?

82?可知?3的方差最小也亦?2最有效。 13解：?X~P(?)?E(X)??,D(X)??

21n1n22E(S)?E[(X?X)]?[E(X)?nE(X)] ??iin?1i?1n?1i?1*2??11n?(n???)?? ?[?(???2)?n(??2)]?n?1n?1i?1n即S*是?的无偏估计

n1n11n又因为E(X)?E(?Xi)?E(?Xi)??EXi??

ni?1ni?1ni?12即X也是?的无偏估计。

又???[0,1] E(aX?(1??)S*)??E(X)?(1??)E(S*)????(1??)???

13

22

因此?X?(1??)S*也是?的无偏估计 14.解：由题意：X~N(?,?2)

因为E(?)?C?E(Xi?1?Xi)2?C?[D(Xi?1?Xi)?(E(Xi?1?Xi)2]

2i?1?n?12?C?[D(Xi?1)?D(Xi)?0]?C?2?2?2C(n?1)?2

i?1i?1?211要使E(?)??只需C? 所以当C?时?为?2的无偏估计。

2(n?1)2(n?1)n?1n?1?2215.证明：?参数?的无偏估计量为?，D?依赖于子样容量n 则???0,由切比雪夫不等式

????limD??0故有limp????????1 n??n???????即证?为?的相合估计量。

k16证明：设X服从B(N,p)，则分布律为 P(X?k)?CNPk(1?P)k (k?1,2,?N)

? 这时E(X)?NP D(X)?NP(1?P) EX2?DX?(EX)2?NP(1?P)?N2P2 例4中p??EXNPX??P（无偏） 所以E(P)?NNN???? DP?DXNP(1?P)P(1?P)?? 22NnNNn? 罗—克拉美下界满足

n1?KK?n?[LnCNPK(1?P)N?P]2CNPK(1?P)N?P IRk?0?pN ?n?[K?0?KK(LnCN?KLnP?(N?P)Ln(1?P))]2CNPK(1?P)N?K ?PEX22NEX?2EX2N2?2NEX?EX2KN?P2KKN?K ?n?[? ?n[2??] ]CNP(1?P)2P(1?P)1?PP(1?P)K?0PN

14

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