19．（本小题满分12分）
设公差为d（d?0）的等差数列
?an?与公比为q（q?0）的等比数列?bn?有如下关系：
a1?b1?2，a3?b3，ab3?5．
（Ⅰ）求
?an?和?bn?的通项公式；
?a1,a2,a3,?,a20?，B??b1,b2,b3,?,b20?，C?A?B，求集合C中的各
（Ⅱ）记A?元素之和．
- 6 -
20．（本小题满分13分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点在原点，焦点为F（1，0）．过抛物线在x轴上方的不同两点A、B作抛物线的切线AC、BD，与x轴分别交于C、D两点，且AC与BD交于点M，直线AD与直线BC交于点N． （Ⅰ）求抛物线的标准方程； （Ⅱ）求证：MN?x轴；
（Ⅲ）若直线MN与x轴的交点恰为F（1，0），求证：直线AB过定点．
y A M N D O F B C x （第20题）
- 7 -
21．（本小题满分14分）
已知f(x)?xlnx,g(x)??x?ax?3． （Ⅰ）求函数f(x)在[t,t?2](t?0)上的最小值；
（Ⅱ）对一切x?(0,??)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围； （Ⅲ）证明：对一切x?(0,??)，都有lnx?212?成立． exex- 8 -
当sinx?1时， 函数
f(x)?1?2sin2x?4sinx取得最大值3 ……12分
18．解：（1）证明：在三棱柱ABC - A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，
所以BB1⊥AB． 又因为AB⊥BC，
所以AB⊥平面B1BCC1．
所以平面ABE⊥平面B1BCC1．…………4分 （2）证明：取AB的中点G，连接EG，FG． 因为E，F，G分别是A1C1，BC，AB的中点，
11
所以FG∥AC，且FG＝AC，EC1＝A1C1．
22
因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1， 所以四边形FGEC1为平行四边形，所以C1F∥EG．
又因为EG?平面ABE，C1F?平面ABE，所以C1F∥平面ABE．…………8分
（3）因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，所以AB＝AC－BC＝3．
1113
所以三棱锥E - ABC的体积V＝S△ABC·AA1＝××3×1×2＝．…………12分
3323
2??2?2d?2q2?1?d?q19．解：（I）由已知?，?? …………2分
2??2?(2q?1)?5?2?(b3?1)d?53?2d2?d?3?0 得d?1或d?? …………4分
22又q?1?d?0 ?d?1 ?q?2 …………6分
2
2
?an?n?1， bn?2（Ⅱ） 集合
n?12 …………7分
A中的元素和为： S20?20?2?- 9 -
20?19?1?230 2
1?2234集合A与集合B的相同元素和为：2?2?2?2?30 …………11分 ?集合C中的元素和为：S?S20?T20?30?2246?20462 …………12分
集合B中的元素和为：T20?21?(2)20???2046(2?1) …………9分
21．（1） f'(x)?lnx?1，当x?(当x?(,??)，f'(x)?0，0,)，f'(x)?0，f(x)单调递减，
1e1e
f(x)单调递增．
1，t无解； e1111② 0?t??t?2，即0?t?时，f(x)min?f()??；
eeee11③ ?t?t?2，即t?时，f(x)在[t,t?2]上单调递增，f(x)min?f(t)?tlnt；
ee1?1?， 0?t???ee．…………4分
所以f(x)min???tlnt，t?1?e?32（2） 2xlnx??x?ax?3，则a?2lnx?x?， …………5分
x3(x?3)(x?1)设h(x)?2lnx?x?(x?0)，则h'(x)?，x?(0,1)，h'(x)?0，h(x)单调递
x2x减，x?(1,??)，h'(x)?0，h(x)单调递增，所以h(x)min?h(1)?4．…………9分
因为对一切x?(0,??)，2f(x)?g(x)恒成立，所以a?h(x)min?4． …………10分
x2（3） 问题等价于证明xlnx?x?(x?(0,??))，…………11分
ee由⑴可知f(x)?xlnx(x?(0,??))的
11最小值是?，当且仅当x?时取到．…………12分
ee① 0?t?t?2?- 10 -
x21?x1，则，易得，当且仅当x?1时取?(x?(0,??))m'(x)?m(x)?m(1)??maxexeexe12到，从而对一切x?(0,??)，都有lnx?x?成立．
eex设m(x)?- 11 -
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