等）。
3. 运动规则描述
（1）惯性规则，个体鱼在得到需要改变运动的信号时，鱼游动的方向不可能立刻改变 ,这时表现出一种惯性的作用。
（2）靠近规则，为了不脱离鱼群，需要尽量靠近邻居的中心。如图a. （3）对齐规则，为了保持鱼群运动的连贯性，每个个体鱼尽量与邻居的方向一致。如图b.
（4）规避规则，为了保持鱼群运动的一致性，个体鱼运动尽量避免碰撞。如图c.
图a 图b 图c
图 2 运动规则描述示意图
4. 运动模型的建立
假设每一个体鱼在t时刻具有相同大小的速度，而运动速度的方向是任意的或随机的，并且位置坐标在给定的平面内是已知的。建立个体鱼的运动模型就是要研究个体鱼在下一个时刻t+1（1表示一个时间步长）时刻运动的方向和在坐标平面内的位置。3中的四条规则对改变鱼下一时刻游动方向都起一定作用, 那么在本文中把这四个方向的平均方向作为鱼下一时刻游动的方向。
取个体鱼A1研究其运动。由于方向就是与水平方向的夹角, 因此仅仅需要对上述四个方向与水平方向的夹角进行平均 ,即为下一时刻该鱼的游动方向。用公式表示为：Pt?1其中
?P 1t?P2t?P3t?P4t （1）
t中A1
Pt?1为下一个时间步长周期个体鱼的运动方向, P1t为本周期
的游动方向, 向,
P2t为周期 t当前个体到邻居平均位置的方向, P3t为邻居的平均方
P4t为小于碰撞距离的邻居到当前个体方向的平均值 (见图 3)。
指向邻居中心A1运动方向避免碰撞邻居的方向
图 3 运动方向的确定图
5
考虑到各规则对鱼的影响力不同, 个体鱼作为自主决策的自驱体在决策时考虑的先后级不同，所以还需要对各个方向加权, 取加权平均值 ,权重的大小文中可以根据偏好确定。则公式转化为：
P t?1??1P1t??2P2t??3P3t??4P4t （2）
其中?1??2??3??4?1。下面给出四个规则所代表的四个方向的具体实现方法：
（1） 惯性规则的实现：P1t为本周期t中A1的游动方向, 本周期内的运动 方向由上一时刻的运动方向所确定，即P1t?Pt?1。
（2） 靠近规则的实现: 每个个体都有向邻居中心靠拢的特性, 邻居中心
为观察范围内各个体所在位置的平均值。假设当前A1所处的位置为
D0?x0,y0?，Di?xi,yi?为当前各个邻居的位置 ， 则邻居平均位置
D?x,y???D?x,y?iiiN??i，P?N2t为周期 t当前个体到邻居平均位置的方向,则
P2t?arctany?y0x?x0 （3）
（3） 对齐规则的实现: 个体会和它的邻居朝同一个方向游动。公式表示
为 ：
P3tP???DDiN0i?R? （4）
其中Pi为各个邻居的方向, N 为邻居的个数, P3t为邻居的平均方向。
（4）避免碰撞规则的实现:当个体和它的邻居靠的太近时 (距离小于碰撞距
离 ) ,应自动避开。公式表示为：
P4t?y0?yi?arctanx?x0iM ??DD0i?r? （5）
?其中P4t为小于碰撞距离的邻居到当前个体方向的平均值,M 为邻居中小于碰撞距离的邻居个数。
最后根据以上计算可得出个体 A1的位置迭代规则为：
?xt?1?xt?v?cosPt? （6） y?y?v?sinPt?1tt?5.1.2.2局部运动模型
6
（1）个体间的感知
感知问题前以述及，个体鱼在鱼群中相互感知，二维空间内，感知范围为半径为R的圆面，通过个体鱼之间的通信，传递位置和运动信息以及其他信号。
（2）通信机制
通信范围：与感知范围一致。
通信对象：位于Ai的通信范围内的所有个体鱼。
通信过程：当Ai的位置坐标发生变化后，Ai立即更新其通信范围内的通信对象；能及时将所有通信对象；所有通信对象能将它们的位置、运动等信息传递给Ai。通过Ai与通信对象之间的通信，实现个体鱼在群体中的局部交互。
（3）鱼群的局部交互
鱼在群体中排列十分紧密，但有时拥挤会造成身体遮挡了部分感知范围，但是离散的鱼却能组合成连贯的鱼群结构，实现全局的统一。但是，如果假设每条鱼能够与其他所有个体进行交互，获取全局信息，那么所有鱼都将集聚在鱼群的质心，而不是一种均匀的分布。因而可以推断在鱼群中只存在局部交互。局部的交互，经过反复协调，最终达成全局的和谐结构。
鱼群运动是一个和谐的整体，而局部与局部是在整体中相交互联的。而且个体之间的交互和局部之间的交互都是在不断地更新中，所以鱼群的整体运动建立在局部交互的基础之上。 5.1.2.3鱼群运动模型
根据前面两点分析，求解出在给定初始状态情况下，每个个体鱼在下一时刻的运动方向能够根据个体鱼运动模型求得，其所有的位置也能通过迭代给出。按照上述的方法，所有鱼群中的个体趋于同步运动，最后形成鱼群的一种集群运动。
个体…局部个体图 4 个体、局部与集群之间的关系图
…集群
5.2问题二的模型
5.2.1 模型的建立
根据对资料的分析，认为鲨鱼在攻击时有它的威胁范围R0，假定所有在它攻击范围内的个体鱼均能感受到威胁的存在，并立即在它的感知范围内向其它个体发出告警交互信号。此时对于集群里的个体鱼来说可以分成三类：第一类是在鲨鱼的攻击范围之内，它要躲避威胁，并且在感知范围内发出告警交互信息同时它能收到威胁范围内其它个体发出的告警交互信号。第二类是不在威胁范围之内但是在第一类鱼的感知范围内。第三类鱼既不在威胁范围内又不在第一类鱼的感知范围内，具体用图形表示如下：
7
图 5 危险信号的传递
考虑鲨鱼的运动：鲨鱼的运动受其运动惯性的影响，并游向其感知范围内与其距离最近的小鱼。则其运动方向Pt?1??1P1t??2P2t，其中，P1t?Pt?1，
?xt?1?xt?v?cosPty?y0。其位置?。由此可得鲨鱼的位置更替。 P2t?arctanmxm?x0?yt?1?yt?v?sinPt在问题一模型的基础上，考虑对于第一类鱼，它在下一时刻的运动方向将受
到六个因素的影响，如下图：
鲨鱼指向邻居中心A1运动方向避免碰撞邻居的方向告警交互躲避威胁
图 6 第一类鱼的方向确定
用公式可以表示为：
P（7） t?1??1P1t??2P2t??3P3t??4P4t??5P5t??6P6t
其中PP5t表示个体鱼为了躲避威胁而以最快方式逃1t,P2t,P3t,P4t的含义同问题一，逸的方向，P6t表示该个体鱼受其它个体发出的告警信号的平均方向；
?1,?2,?3,?4,?5,?6表示鱼在决策时对它们的偏好权重，?1??2??3??4??5??6?1
对于第二类鱼来说，它在下一时刻的运动方向受五个因素的影响，如下图：
8
指向邻居中心A1运动方向避免碰撞邻居的方向告警交互
图 7 第二类鱼的方向确定
用公式可以表示为：
P t?1??1P1t??2P2t??3P3t??4P4t??6P6t （8）
各符号含义同上，其中?1??2??3??4??6?1。
对于第三类鱼来说，它在下一时刻的运动方向仍然受问题一中的四个因素影
响。
5.2.2 参数解算算法
个体鱼在下一时刻的运动方向确定：
P5t?arctanx0?xs （9）
y0?ys其中?xs,ys?为鲨鱼当前的位置坐标。
P6t??arctany0?ykx0?xkK ?k?K? （10）
其中?xk,yk?表示感知范围内第k条个体鱼的位置坐标，K 为该个体鱼受其它个体发出的告警信号的个数。
个体鱼在下一时刻的位置坐标确定：
?xt?1?xt?v?cosPt? （11） ?yt?1?yt?v?sinPt5.3 问题三的模型
5.3.1 模型的建立
假设鱼群中有一部分个体是信息丰富者，本文仅考虑掌握食物源位置信息的个体鱼Mi，它们在遵循问题一中提出的游动规则条件下，将主动靠近食物源，并且把它向食物源游去的信息告知邻居，召集其它个体鱼共同觅食。在问题一个
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