必修4三角函数的图像与性质1.4-1.6含答案

三角函数的图像与性质1.4-1.6

一：知识点 1.基本性质 函数 定义域 Y=sinx Y=cosx 值域 最值 周期 奇偶性 对称轴 对称中心 增区间 减区间 增区间 减区间 增区间 单调性 Y=tanx 2：y?Asin??x????k图像的变化类型 ⑴：平移变换

（1）：左右平移y?sinx-------------------------------------------------y?sin?x??? （2）：上下平移y?sinx-------------------------------------------------y?sinx?k ⑵：伸缩变化

（1）：左右伸缩y?sinx--------------------------------------------------y?sin?x （2）：上下伸缩y?sinx--------------------------------------------------y?Asinx 3．y?Asin??x????k图像的一般变化顺序

??x???上下伸缩y?Asin??x???上下平移y?sinx左右平移y?sin(x??)左右伸缩y?siny?Asin??x????k

二：例题讲解

π1．函数f(x)?sin(2x?)的最小正周期为（ ）

3A．2πB．π C．【答案】B. 【解析】

ππ D． 24试题分析：由三角函数y?Asin(?x??)的最小正周期T?Asin(?x??)?B形式，在代T?2?2?得T???.解决这类问题，须将函数化为|?|22?时，必须注意取?的绝对值，因为是求最小正周期. |?|考点：三角函数的周期计算 2．函数y?sin?

????2x?，x?R是（） ?2?1

?的奇函数 2?C.最小正周期为?的偶函数D.最小正周期为的偶函数

2A.最小正周期为?的奇函数B.最小正周期为【答案】C 【解析】

试题分析：函数y?sin?2??????．故选C． ?2x?=cos2x，显然函数是偶函数，函数的周期是T=2?2?考点：1.三角函数的周期性；2.函数的奇偶性.

3．要得到函数y＝cos(2x＋1)的图像，只要将函数y＝cos 2x的图像( ) A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位 C．向左平移【答案】C

【解析】把函数y＝cos 2x的图像向左平移图像，因此选C.

4．将函数y?sinx的图像上所有的点向右平行移动

11个单位 D．向右平移个单位 2211??个单位，得y＝cos 2?x??的图像，即y＝cos(2x＋1)的22??π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的23倍(纵坐标不变)得到函数f(x)的图象,则f(－π)等于( ) A.

1133 B.? C. D.－

2222【答案】D

【解析】

试题分析：因为将函数y?sinx的图像上所有的点向右平行移动

π个单位长度，得到的函数解析式为3y?sin(x??331?1?5?1f(x)?sin(x?.所以)f(??)?sin((??)?)?sin(?)??.

232362).再把函数y?sinx(??)各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到

考点：1.三角函数的左右平移.2.三角函数的伸缩变换. 5．要得到函数f?x??cos?2x?????3??的图象，只需将函数g?x??sin?2x??????的图象（ ） 3?A.向左平移

??个单位长度 B.向右平移个单位长度 22??个单位长度 D.向右平移个单位长度 44C.向左平移

【答案】C.

【解析】

??5?????sin[(2x?)?]?sin[2(x?)]， 试题分析：因为函数f?x??cos?2x??32123??

2

所以将函数g?x??sin?2x?????3??的图象向左平移

?个单位长度， 4即可得到函数y?sin[2(x??4)??3]?sin(2x?5?)的图像.故应选C. 6考点：函数y?Asin(?x??)的图像变换.

6．如图所示是函数f(x)?sin(?x??)(??0,|?|??)的部分图像，则f(x)的解析式为【答案】f(x)?sin(2x?.

?3)

?)?? 126【解析】由图像得函数周期T?4(又T???2??，所以??2，即f(x)?sin(2x??)

由图像知f(?12)?1,所以

?6???2k???2(k?Z)，解得???3?2k?(k?Z)

又|?|??，所以???3

故答案为f(x)?sin(2x??3)

【考点】三角函数的性质；三角函数的解析式. 7．函数f(x)?Asin(?x??)(A?0,??0,??只需将f(x)的图象( )

?2)的部分图象如图所示，为了得到y?sin2x的图象，

y1???个单位 B．向右平移个单位 36??C．向左平移个单位 D．向左平移个单位

36A．向右平移【答案】B

【解析】

?O6?3x 试题分析：观察图象可知，A?1，T??，∴??2，f(x)?sin(2x??). 将(??6,0)代入上式得sin(??3??)?0，由已知得???3，故f(x)?sin(2x??3).

由f(x)?sin2(x??6)知，为了得到y?sin2x的图象，只需将f(x)的图象向右平移

?个单位. 6故选B．

考点：正弦型函数，函数图象像的平移.

8．已知函数f(x)?Asin(?x??)?b（A、??0,0????，b为常数)一段图像如图所示． (1)求函数f(x)的解析式； (2)将函数y?f(x)的图像向左平移

?个单位，再将所得图像上各点的横123

坐标扩大为原来的4倍，得到函数y?g(x)的图像，求函数g(x)的单调递增区间. 【答案】（1）f(x)?3sin(2x?)?2；（2）[4kπ?【解析】

π65ππ，4kπ?]，k?Z 335?(?1)5?(?1)5ππ?3，b??2，因为T?(?)?4?π，所以??2 22126πππ

由“五点法”作图，?2???，解得??

626

π所以函数f(x)的解析式为f(x)?3sin(2x?)?2 6分

6πππ（2）将函数y?f(x)的图像向左平移个单位后得到的函数解析式为y?3sin[2(x?)?]?2，即

12126π1πy?3sin(2x?)?2，再将图像上各点的横坐标扩大为原来的4倍，得g(x)?3sin(x?)?2

323π1ππ5ππ?x?4kπ? 由2kπ??x??2kπ+，得4kπ?2232335ππ，4kπ?]，k?Z10分. 故g(x)的单调递增区间为[4kπ?33解析：（1）由已知，A?考点：1.三角函数的图像与性质；2.三角函数的图像变换.

9．已知函数f(x)?sin?x?3cos?x(??0)的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于

?，若将函数2?个单位得到函数y?g(x)的图象，则y?g(x)是减函数的区间为（ ） 6??????A．(?,0)B．(?,)C．(0,)D．(,)

344433y?f(x)的图象向左平移

【答案】D

【解析】

?T?2?f(x)?sin?x?3cos?x?2sin(?x?)T?.?,322所以??2.因此?试题分析：因为，所以由题意得

g(x)?2sin(2(x??6)??3)?2sin2x,?其减区间满足：

2?2k??2x?3??2k?,(k?Z),2即

?4?k??x?3????3??k?,(k?Z),(,)?[,]444，所以选D. 只有43考点：三角函数图像变换

??110．若将函数y＝2sin（x＋4）的图像上各点的横坐标缩短为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移4个单位，则所得图像的一条对称轴的方程为：（ ） A．x＝－8B．x＝－4C．x＝8 D．x＝4 【答案】A 【解析】

1???试题分析：函数y?2sin?x??的图像上各点的横坐标缩短为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数

4??

4

????

???y?2sin?2x??，所的函数再向右平移

4???4个单位，得到函数

???????????y?2sin?2?x?????2sin?2x??，x??代入得y??2，故x??是所得函数图像的一条

884?4?4????对称轴的方程．

考点：三角函数图像与性质，三角函数图像变化． 11．已知函数f(x)?cos(2x??)?2sin(x?)sin(x?). 344??(1)求函数f(x)的最小正周期和图像的对称轴方程； (2)求函数f(x)在区间[?,]上的值域. 122??【答案】（1）T?2πkππ3?π，x??(k?Z)；（2）[?，1] 2232【解析】

试题分析：（1）先利用两角和与差的三角函数将式子展开合并，再利用二倍角公式、辅助角公式化简得到

π2???f(x)?sin(2x?)，再结合正弦函数的性质，由T?、2x???k?,k?Z可得函数f(x)的最

6?62?????5??x????2x??小正周期与对称轴的方程；（2）将2x?当成整体，由?，利用正弦

6122366函数的单调性可得?3??sin(2x?)?1，即f(x)的值域. 26π3π4π4试题解析：（1）f(x)?cos(2x?)?2sin(x?)sin(x?)

13?cos2x?sin2x?(sinx?cosx)(sinx?cosx) 2213?cos2x?sin2x?sin2x?cos2x 22π13?cos2x?sin2x?cos2x?sin(2x?)

622所以函数f(x)的周期T?由2x?2π?π 2ππkππ?kπ?(k?Z)，得x??(k?Z) 6223kππ?(k?Z) 6分 所以函数f(x)图像的对称轴方程为x?23ππππ5π（2）因为x?[?，]，所以2x??[?，]

122636πππππ因为f(x)?sin(2x?)在区间[?，]上单调递增，在区间[，]上单调递减

612332

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