∴sinC=sin（π﹣2A）=sin（2A）=2sinAcosA=2×（2）设AC=BC=m， ∵△ABC的面积为8∴m=3
×
=
， ，
×=．
，cosC=，
根据余弦定理得出： BD2=m2BD=
．
×=
m2=
【点评】本题考查了向量数量积以及正弦定理和余弦定理的运用，在判断三角形形状时，要注意对角的范围进行分析，即求角的大小需要两个条件：该角的一个三角函数值和该角的范围，缺一不可，正、余弦定理是解三解形必用的数学工具
17．如图，矩形ABCD中，
=λ（λ＞1），将其沿AC翻折，使点D到达点E的位置，
且二面角C﹣AB﹣E为直二面角． （1）求证：平面ACE⊥平面BCE；
（2）设F是BE的中点，二面角E﹣AC﹣F的平面角的大小为θ，当λ∈[2，3]时，求cosθ的取值范围．
【分析】（Ⅰ）推导出AB⊥BC，BC⊥AE，从而AE⊥平面BCE，由此能证明平面ACE⊥平面BCE．
（Ⅱ）以E为坐标原点，以AD长为一个单位长度，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出cosθ的取值范围． 【解答】（本题15分）
证明：（Ⅰ）∵二面角C﹣AB﹣E为直二面角，AB⊥BC，
∴BC⊥AE平面，∴BC⊥AE…（2分） ∵AE⊥CE，BC∩CE=C， ∴AE⊥平面BCE…（4分）
∵AE?平面ACE，∴平面ACE⊥平面BCE…（6分）
解：（Ⅱ）如图，以E为坐标原点，以AD长为一个单位长度， 建立如图空间直角坐标系， 则AB=λ
…（8分） 则
设平面EAC的法向量为
则，取x=1，则…（10分）
同理设平面FAC的法向量为…（12分）
∴…（14分）
∵…（15分）
【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
18．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）的图象过点（1，0）． （1）记函数f（x）在[0，2]上的最大值为M，若M≤1，求a的最大值；
（2）若对任意的x1∈[0，2]，存在x2∈[0，2]，使得f（x1）+f（x2）＞a，求的取值范围．
【分析】（1）方法一：由f（x）是开口向上的抛物线，可得：M=max{f（0），f（2）}，即方法二：（2）存在
，两式相加可得a的最大值；
=，使
，结合M≤1，可得a的最大值
，结合二次函数的图象和性
质，分类讨论，最后综合讨论结果，可得答案． 【解答】解：（1）∵f（x）过点（1，0）， ∴f（1）=a+b+c=0，…（1分） ∴c=﹣a﹣b，f（x）=ax2+bx﹣a﹣b ∵f（x）是开口向上的抛物线， ∴M=max{f（0），f（2）}…（3分） ∴
…（5分）
两式相加得a≤1，即a的最大值为1…（6分） 解法二：由
解得：
（2）由题意，存在∴∵a+b+c=0
=≤，使
=1 …（6分）
，
…（8分）
∴f（x）=ax2+bx﹣a﹣b其对称轴为
①当∴
，即时，f（x）在[0，2]上单调递增，
∴＞0均符合题意 …（10分） ②当f（x）在[0，∴∴由③当f（x）在[0，
得：，即]上递减，在[，即]上递减，在[
时，
，2]上递增且f（0）＜f（2），
，符合题意 …（12分） 时，
，2]上递增且f（0）≥f（2），
∴由∴④当∴∴
即
得：
符合题意 …（13分）
时，f（x）在[0，2]上单调递减，
，
均符合题意 …（14分）
或
…（15分）
综上所述：∴
【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．
19．已知椭圆
=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，焦距为2，设点P（a，b）满足
△PF1F2是等腰三角形． （1）求该椭圆方程；
（2）过x轴上的一点M（m，0）作一条斜率为k的直线l，与椭圆交于点A，B两点，问是否存在常数k，使得|MA|2+|MB|2的值与m无关？若存在，求出这个k的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（Ⅰ）根据题意，有，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）联立方程组
，得：（3+4k2）x2﹣8k2mx+4m2﹣12=0，由此利用根的判
别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件推导出|MA|2+|MB|2=7与m无关符合题意． 【解答】（本题15分） 解：（Ⅰ）∵椭圆
=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，焦距为2，
设点P（a，b）满足△PF1F2是等腰三角形， ∴根据题意，有
…（4分）
解得：，
故所求椭圆方程为．…（6分）
（Ⅱ）联立方程：
，整理得：（3+4k2）x2﹣8k2mx+4m2﹣12=0
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