广东省湛江市2009年第一次模拟考试数学理试题(2)

∵AC?AB?A，∴PA?平面ABC??3分 ∵BC?平面ABC，∴PA⊥BC. ????4分

(Ⅱ) 如图所示取PC的中点G，???????5分 连结AG，BG，∵PF:FC=3:1,∴F为GC的中点 又D、E分别为BC、AC的中点，

∴AG∥EF，BG∥FD，又AG∩GB=G，EF∩FD=F?????7分 ∴面ABG∥面DEF

即PC上的中点G为所求的点 ????? 9分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知G这PC的中点，连结GE，∴GE⊥平面ABC，过E作EH⊥AB于H，连结GH，则GH⊥AB，∴∠EHG

为二面角G-AB-C的平面角 ????? 11分 ∵S?ABE?11539 又S?ABE?AB?EH S?ABC?228539135394GE?PA? 又 ????? 13分 ??22416∴EH?2S?ABEAB∴tan?EHG?EG316839 ???EH253965839 ????? 14分 65∴二面角G-AB-C的平面角的正切值为19．（本小题满分14分）

121x2?1解：（Ⅰ）当a?1时，f(x)?x?lnx，f?(x)?x??；??????2分

2xx 对于x?[1，e]，有f?(x)?0，∴f(x)在区间[1，e]上为增函数，????3分 1e2 ∴fmax(x)?f(e)?1?，fmin(x)?f(1)?.???????????5分

2212（Ⅱ）令g(x)?f(x)?2ax?(a?)x?2ax?lnx，则g(x)的定义域为（0，+∞）.

2?????????????????6分

在区间（1，+∞）上，函数f(x)的图象恒在直线y?2ax下方等价于g(x)?0在区间（1，+∞）上恒成立.

1(2a?1)x2?2ax?1(x?1)[(2a?1)x?1]?∵g?(x)?(2a?1)x?2a??

xxx11① 若a?，令g?(x)?0，得极值点x1?1，x2?，??????8分

22a?11当x2?x1?1，即?a?1时，在（x2，+∞)上有g?(x)?0，

2此时g(x)在区间(x2，+∞)上是增函数，并且在该区间上有

g(x)∈(g(x2)，+∞)，不合题意；???????????????9分 当x2?x1?1，即a?1时，同理可知，g(x)在区间(1，+∞)上，有

g(x)∈(g(1)，+∞)，也不合题意；???????????????10分

1

② 若a?，则有2a?1?0，此时在区间(1，+∞)上恒有g?(x)?0，

2

从而g(x)在区间(1，+∞)上是减函数；??????????????12分

11要使g(x)?0在此区间上恒成立，只须满足g(1)??a??0?a??，

2211由此求得a的范围是[?，].

2211综合①②可知，当a∈[?，]时，函数f(x)的图象恒在直线y?2ax下方.

22 ??????????????????14分

20．（本小题满分14分） 解：(Ⅰ) 圆A的圆心为A(?3,0),半径r1?4， ?????? 1 分

设动圆M的圆心为M(x,y),半径为r2,依题意有,r2?|MB|. ???? 2分 由|AB|=23，可知点B在圆A内，从而圆M内切于圆A，故|MA|=r1-r2， 即|MA|+|MB|=4， ?????? 4分

x2y2所以，点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，设椭圆方程为2?2?1，

ab由2a?4,2c?23,可得a2?4,b2?1.

x2?y2?1. ?????? 6分 故曲线C的方程为42x02(Ⅱ)当y0?0时,由?y0?1,可得x0??2，

4当x0?2,y0?0时,直线l的方程为x0?2,直线l与曲线C有且只有一个交点(2,0)..当x0??2,y0?0时,直线l的方程为x0??2,直线l与曲线C有且只有一个交点(?2,0).4?x0x?y?,?4?x0x4y0 ??????8分 ?当y0?0时,直线l的方程为y?,联立方程组:?24y0?x?y2?1.??4消去y,得(4y0?x0)x?8x0x?16?16y0?0. ① ????? 10分

2x0222?y0?1.可得4y0?x0?4. 由点P(x0,y0)为曲线C上一点，得42222于是方程①可以化简为x?2x0x?x0?0. 解得x?x0， ????? 12分

22将x?x0代入方程y?4?x0x可得y?y0,故直线l与曲线C有且有一个交点P(x0,y0), 4y0 ???????????????????????13分

综上，直线l与曲线C存在唯一的一个交点，交点为P(x0,y0). ????? 14分 21．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）分别令n?1，2，3，得

?2a1?a12?1?2 ?2(a1?a2)?a2?2?22(a?a?a)?a?31233? ∵an?0，∴a1?1，a2?2，a3?3.???????????????3分 （Ⅱ）证法一：猜想：an?n，?????????????????????4分

2 由 2Sn?an?n ① 2 可知，当n≥2时，2Sn?1?an?1?(n?1) ②

2222 ①-②，得 2an?an，即?an?1a?2a?a?1nnn?1?1.??????6分 2 1）当n?2时，a2?2a2?12?1，∵a2?0，∴a2?2；?????7分

2）假设当n?k（k≥2）时，ak?k. 那么当n?k?1时，

222ak?1?2ak?1?ak?1?2ak?1?k?1

?[ak?1?(k?1)][ak?1?(k?1)]?0， ∵ak?1?0，k≥2，∴ak?1?(k?1)?0， ∴ak?1?k?1.

这就是说，当n?k?1时也成立，

∴an?n（n≥2）. 显然n?1时，也适合.

故对于n∈N*，均有an?n.???????????????9分

证法二：猜想：an?n，?????????????????????4分 1）当n?1时，a1?1成立；???????????????????5分 2）假设当n?k时，ak?k.???????????????????6分 2 那么当n?k?1时，2Sk?1?ak?1?k?1.

2∴2(ak?1?Sk)?ak?1?k?1，

2 ∴ak)?2ak?1?(k2?k)?(k?1) ?1?2ak?1?2Sk?(k?1 ?2ak?1?(k2?1)

（以下同证法一）??????????????????????9分 （Ⅲ）证法一：要证nx?1?ny?1≤2(n?2)，

只要证nx?1?2(nx?1)(ny?1)?ny?1≤2(n?2)，??????10分

2 即n(x?y)?2?2nxy?n(x?y)?1≤2(n?2)，???????11分

2 将x?y?1代入，得2nxy?n?1≤n?2，

即要证4(nxy?n?1)≤(n?2)，即4xy≤1. ??????????12分 ∵x?0，y?0，且x?y?1，∴xy≤即xy≤

22x?y1?, 221，故4xy≤1成立，所以原不等式成立. ?????????14分 4证法二：∵x?0，y?0，且x?y?1，

n?1≤221 当且仅当x?时取“?”号. ?????????????11分

2nny?1??1n2∴ny?1? ② ?1≤221 当且仅当y?时取“?”号. ?????????????12分

2 ∴nx?1? ①+②，得 （nx?1?nx?1?n?12 ①

ny?1）

n(x?y)?4?nn?n?2， ?1≤

221时取“?”号. ??????????????13分 2∴nx?1?ny?1≤2(n?2).???????????????14分

当且仅当x?y? 证法三：可先证a?b≤2(a?b). ???????????????10分 ∵(a?b)2?a?b?2ab，

(2(a?b))2?2a?2b，a?b≥2ab，???????????11分 ∴2a?2b≥a?b?2ab，

∴2(a?b)≥a?b，当且仅当a?b时取等号. ??????12分

令a?nx?1，b?ny?1，即得

nx?1?ny?1≤2(nx?1?ny?1)? 当且仅当nx?1?ny?1即x?y?

如上各题若有其它解法，请评卷老师酌情给分.

2(n?2)，

1时取等号. ?????????14分 2

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