广东省湛江市2009年第一次模拟考试数学理试题

广东省湛江市2009年第一次模拟考试

数 学（理 科）

本试卷共4页，共21小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。用2B铅笔将答题卡试卷类型（A）填涂在答题卡上。在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，将相应的试室号、座位号信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式： 如果事件A、B互斥，那么P(A?B)?P(A)?P(B)

如果事件A、B相互独立，那么P(A?B)?P(A)?P(B)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的．

1．已知U = { 2，3，4，5，6，7 }，M = { 3，4，5，7 }，N = { 2，4，5，6 }，则 A．M∩N = { 4，6 } B．M∪N = U C．(Cu N )∪M = U D．(Cu M )∩N = N 2．若将复数

1?i表示为a + bi（a，b∈R，i是虚数单位）的形式，则a + b = 1?i A．0 B．1 C．–1 D．2

3．如图，样本数为9的四组数据，它们的平均数都是5，频率条形图如下，则标准差最大的一组是 频率 频率 频率 1.0 1.0 1.0 1.0

0.4 0.4 0.3 0.3 0.2 0.1 4 5 6 数据 2 5 8 数据 5 3 4 5 6 7 数据 数据

第一组 第二组 第三组 第四组

A． B． C． D．

4．已知等差数列{an}的前13项之和为39，则a6?a7?a8等于

A．6 B．9 C． 12 D．18 5．已知函数f(x)?cosxsinx(x?R)，给出下列四个命题：

①若f(x1)??f(x2)，则x1??x2 ②f(x)的最小正周期是2?

??3?③在区间[?,]上是增函数． ④f(x)的图象关于直线x?对称

444其中真命题是

A．①②④ B．①③ C．②③ D．③④

6．若过点A (3 , 0 ) 的直线l与曲线 (x?1)2?y2?1有公共点，则直线l斜率的取值范围为

A．(?3, 3 ) B．[?3, 3 ] C．(?7．命题p：?x?[0,??)，(log32)x?1，则

3333, ) D．[?, ] 3333A．p是假命题，?p：?x0?[0,??),(log32)x0?1

B．p是假命题，?p：?x?[0,??),(log32)x?1

C．p是真命题，?p：?x0?[0,??)，(log32)x0?1

D．p是真命题，?p：?x?[0,??),(log32)x?1

58．函数f(x)?2x?图象上的动点P到直线y?2x的距离为d1，点P到y轴的距离为d2，则d1d2?

xA．5 B．5 C．

5 D．不确定的正数 5

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9~12题）

9.抛物线y?4x2的焦点坐标是__________________. 10.用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图 如下图所示，则它的体积的最小值为 ，最大 值为 .

输出(x , y ) 开始 x = 1 , y = 0 , n = 1 n = n + 2 主视图

俯视图 ?x?y?0?11. 若x , y满足约束条件?x?y?3?0，则z?2x?y

?0?x?3?的最大值为 ．

N x = 3x y = y–2 12.已知某算法的流程图如图所示，若将输出的 (x , y ) 值依次记为 (x1 , y1 )，(x2 , y2 )，??(x n , y n )，??.

(1) 若程序运行中输出的一个数组是(9 , t)，则t = ； (2) 程序结束时，共输出(x , y )的组数为 .

n>2009 Y 开始 （二）选做题（13-15题，考生只能从中选做二题） 13. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若过点A(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线??4cos?于

A、B两点，则|AB|?_________ _．

14.（不等式选讲选做题）设x?y?z?1，则F?2x2?y2?3z2的最小值为________． A 15.（几何证明选讲选做题）如图，已知PA、PB是

圆O的切线，A、B分别为切点，C为圆O上不与

C A、B重合的另一点，若∠ACB = 120°，则∠APB P O = ．

B 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16.（本小题满分12分）

在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中5个项目的比赛．已知该运动员在这5个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是0.8，那么在本次运动会上： （Ⅰ）求该运动员至少能打破3项世界纪录的概率；

（Ⅱ）若该运动员能打破世界纪录的项目数为?，求?的数学期望E?（即均值）． 17．（本小题满分12分）

已知向量a?(2cosx,3)，b?(1,sin2x)，函数f(x)?a?b，g(x)?b． （Ⅰ）求函数g(x)的最小正周期；

（Ⅱ）在?ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且f(C)?3，c?1，ab?23，且a?b，

求a,b的值．

18．（本小题满分14分）

如图，在三棱锥P-ABC中， PA=3，AC=AB=4，PB=PC=BC=5，D、E分别是BC、AC的中点，F为PC上的一点，且PF:FC=3:1． （Ⅰ）求证：PA⊥BC；

（Ⅱ）试在PC上确定一点G，使平面ABG∥平面DEF； （Ⅲ）在满足（Ⅱ）的情况下，求二面角G-AB-C的

平面角的正切值．

19．（本小题满分14分）

A E C F

D B

P

??2????????22（Ⅰ）当a?1时，求f(x)在区间[1，e]上的最大值和最小值；

（Ⅱ）若在区间（1，+∞）上，函数f(x)的图象恒在直线y?2ax下方，求a的取值范围．

12 （a?R） 已知函数f(x)?(a?)x?lnx.

20．（本小题满分14分）

已知定圆A:(x?3)2?y2?16,圆心为A，动圆M过点B(M的轨迹记为C． (Ⅰ)求曲线C的方程；

(Ⅱ)若点P(x0,y0)为曲线C上一点，探究直线l:x0x?4y0y?4?0与曲线C是否存在交点? 若存在则求出交点坐标, 若不存在请说明理由．

21．（本小题满分14分）

2设数列{an}的前n项和为Sn，并且满足2Sn?an?n，an?0（n∈N*）.

3,0)，且和圆A相切，动圆的圆心

（Ⅰ）求a1，a2，a3；

（Ⅱ）猜想{an}的通项公式，并加以证明；

（Ⅲ）设x?0，y?0，且x?y?1，证明：anx?1?any?1≤2(n?2).

湛江市2009年普通高考测试题（一）

数 学（理 科） 参考答案及评分意见

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1.B 2. B 3. D 4.B 5.D 6.D 7.C 8. B.

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

1）. 10. 10（2分），16（3分）. 11.9. 166? 12. ?4（2分），1005（3分）. 13. 23. 14. . 15. 60.

119.（0，

三、解答题（本大题共6小题，共80分） 16.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）依题意，该运动员在每个项目上“能打破世界纪录”为独立事件，并且每个事件发生的概率相同. 设其打破世界纪录的项目数为随机变量?，“该运动员至少能打破3项世界纪录”为事件A，则有 ????????????????????????2分

P(A)?P(??3)?P(??4)?P(??5)????????????????4分

345?C50.83?0.22?C50.84?0.2?C50.85?????????????6分 ?0.94208. ????????????????????????8分

（Ⅱ）由（Ⅰ）解答可知，?～B（5，0.8），故所求数学期望为

E??5?0.8?4. ????????????????????????12分

17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）g(x)?b1?cos4x13??cos4x? ---------2分 2222??? ----------4分 ∴函数g(x)的最小周期T?42?1?sin22x?1?????22??2（Ⅱ）f(x)?a?b?(2cosx,3)?(1,sin2x)?2cosx?3sin2x ?cos2x?1?3sin2x?2sin(2x??6)?1 -------------6分 6)?1 ------------7分

f(C)?2sin(2C??6)?1?3 ?sin(2C?? ?C是三角形内角

?13?????(,)， ∴2C?? 即：C? -------------8分 666626b2?a2?c2322? ∴cosC? 即：a?b?7 ----------------10分

2ab21222 将ab?23可得：a?2?7 解之得：a?3或4

a ∴a?3或2 ?b?2或3 ?a?b

∴a?2 b?3 ------------12分

∴2C?18．（本小题满分14分）

解：(Ⅰ) 在△PAC中，∵PA=3，AC=4，PC=5，

222 ∴PA?AC?PC，∴PA?AC；??1分

? 又AB=4，PB=5，∴在△PAB中，

同理可得 PA?AB ??????????2分

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