华南理工大学高等数学统考试卷下07期中卷答案

2007-2008高等数学下册期中考试试卷

姓名： 班级： 成绩单号：

一、填空题（4?5）

?x?1x?1y?2z?1?1、[4分] 与直线及?y?1?t都平行，且过原点的平面方程为 ??121?z?2?t?x?y?z?0

?z?z各为,?x?y2、[4分]设z?f?u,v?,u?sin?xy?,v?arctany,f?u,v?可微，则

f21?y2yf1cosxy,xf1cosxy?

23、[4分]设u?exy2，则

?u?x?y?2x?1?xy?e2xy2

4、[4分] 设函数u?x?xy?xyz在点?1,2,0?的所有方向导数中，最大的方向导数是沿方向?1,4,0?

5、[4分]曲面xy?yz?zx?1在点?3,?1,2?处的切平面方程为x?5y?2z?2?0，法线方程为

x?31?y?15?z?22

二、（8分）设z?arctanx?y1?xy，求dz?1,3?

解：dz??1?y?dx??1?x?dy221?xy?x?y2222，dz?1,3??2dx?dy4

yz三、（8分）设f(s,t)具有连续的偏导数，且f(s,t)?0，方程f(,)?0确定

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了z是x,y的函数，试求x?z?x?y?z?y

解：f1xdy?ydxx2?f2xdz?zdxx2?0，解出dz??yf1?zf2?dx?xf1dyxf2

从而x?z?x?y?z?y?z

四、[8分] 求函数u?x2?y2?z2?3z在点M0?1,?1,2?的梯度及沿梯度方向上函

数的方向导数

解：gradu??2x,2y,2z?3?,gradu数为graduM0M0??2,?2,1?，则沿梯度方向上函数的方向导

??2,?2,1??3

五、[8分]设直线

?x?y?b?0L:??x?ay?z?3?0在平面?上，而平面?与曲面z?x2?y2相

切于点?1,?2,5?，求a,b之值。

解： 由曲面得切平面法向量?2x,2y,?1?从而有切平面方程为2x?4y?z?5?0

?1,?2,5???2,?4,?1?

?x?y?b?0由直线L:??x?ay?z?3?0?y??x?bx?bz?b?3,?y?得：?a?1?(a?1)y?z?b?3?1

从而s?n??2?4?1?a?0,a??5；2??b??4?0???3?b??5?0,b??2 六、 [8分] 计算二重积分??max?xy,1?dxdy，其中D:0?x?2,0?y?2

D??解： 用xy?1将区域划分为两个

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??max?xy,1?dxdy???1dxdy???xydxdy???1dxdy???(xy?1)dxdy

DD1D2DD222?4???(xy?1)dxdy?4?D21?2dx1??xy?1?dyx?434?ln2

七、[8分] 计算?dx?xx?ydy??001x2221dx?2?x02xx?ydy

22解：由积分限作出区域图，由图知化为极坐标计算容易

?42原式???Dxx?ydxdy?22?0d??0rcos??r?rdr?22

2?y?2z八、[8分] 计算I?????x2?y2?dv，其中?为平面曲线?绕z轴旋转一周

x?0??的曲面与平面z?8所围的区域。

?x2?y2?2z解：由交线?知在xoy面上的投影域为D:x2?y2?16

?z?82?482用柱坐标计算I??0d??rrdr0r2?2dz?10243?

九、 [8分] 设由曲面z?x2?y2与z?2?x2?y2所围成的立体中每点的密度与该点到xoy平面距离成正比，试求该立体的质量M

22?z?x?y?22D:x?y?1 解：由交线?知在xoy面上的投影域为22??z?2?x?y2?12?r用柱坐标计算I?????zdv??d??rdr?00?r?zdz?3?4?

2十、计算????3x2?5y2?7z2?dxdydz，其中?:0?z??R?x?y222

解：令?1:x2?y2?z2?R2，由对称性

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原式=

1????3x2?12?5y?7z22?dxdydz?13?5?7?23????x?12?y?z22?dxdydz

?522??R225?0d??d??rrsin?dr?2?R

00十一、 [8分]在曲线x?y?使曲面上过点的切z?1上求一点M0?x0,y0,z0?，

平面与三个坐标面所围成的四面体的体积为最大 解：令

11????1???1z?1,n??,,//,???2x02y02z0??x0???xx0?yy0?zz0F?x?y?11??,?,y0z0??16x0y0x0?y0?z0?1从而切平面为?1，四面体的体积为V?z0 问题等价为f?x,y,z??xyz在x?令L?x,y,z??xyz???x??2xy?z?1?0条件下的最大值

y?z?1?

?2z?0推出，x?y?z

则由Lx?yz??0,Ly?xz??2y?0,Lz?xy?由约束条件x?y?z?1知x?y?z?19

由问题的实际意义与驻点的惟一性知，?,,?就是我们要求的点。

?999??111?十二、 [附加题5分] 计算积分?x2?y2ds，式中曲线C是y?2ax?x2在

C0?x?2a上的一段弧。

解：曲线C可以表示为x?a?1?cost?,y?asint,t??0,??

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???Cx?yds?22?02aa?1?cost??0?asint?2??acost?dt?2t22 2acosdt?4a?20十三、 [附加题5分] 计算积分???1zdS，其中?是球面x2?y2?z2?R2被锥面

R?222?x?y?z?z??所截的部分

2??2222??x?y?z?R解：由交线?222??z?x?y知曲面在xoy面上的投影域为D:x?y?22R22

z?R?x?y,zx?222?xR?x?y222,zy??yR?x?yR2222,dS?RdxdyR?x?y222

??z?1dS???D1R?x?y222RdxdyR?x?y2222???0d??0RR?r22rdr??Rln2

十四、 [附加题10分] 计算积分???x3?y2?z?dS，其中?是抛物面2z?x2?y2?被平面z?2所截下的有限部分

?2z?x2?y2解：由交线?知曲面在xoy面上的投影域为D:x2?y2?4

?z?2z?x?y222,zx?x,zy?y,dS?1?zx?zydxdy?221?x?ydxdy

22由对称性知???x3?y2?z?dS?????y?2?z?dS??12?2x?y?z???dS ???2???2?22????x?2?y2?dS????xD2?y2?1?x?ydxdy?22?d??r00?2054?1?rrdr??????3?15??2

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