数值计算基础实验指导+部分实验源代码+复习指导+三套试题及其答

数值计算基础

实验指导书

2010 年

目录

实验一 直接法解线性方程组的 ................................ 3 实验二 插值方法............................................ 12 实验三 数值积分............................................. 6 实验四 常微分方程的数值解 .................................. 8 实验五 迭代法解线性方程组与非线性方程 ..................... 10

实验一 直接法解线性方程组

一、实验目的

掌握全选主元消去法与高斯-塞德尔法解线性方程组。

二、实验内容

分别写出 Guass 列选主元消去法与追赶法的算法，编写程序上机调试出结果，要求所编 程序适用于任何一解线性方程组问题，即能解决这一类问题，而不是某一个问题。实验中以 下列数据验证程序的正确性。

1、用 Guass 列选主元消去法求解方程组

?2.5 ? ??5.3??8.1

2.3 ? 5.1? ? x1 ???3.7??

? ? ? ???9.61.5 3.8 ?2 ??? ??? ?x ??

?1.7 ? 4.3 ?x3 ????? ????5.5??

?

?

2、用追赶法求解方程组

?? 2 0 0 0 0 ? ? x1 ???? 10??

? 1 ? 2 0 0 0 ? ? x ??? 0 ??? ? ? 2 ? ? ??? 0 1 ? 2 0 0 ? ? x3 ? ? ? 0 ??? ? ? ? ? ??? 0 0 1 ? 2 0 ? ? x4 ??? 0 ??0 0 0 1 ? 2 x5 0

三、实验仪器设备与材料

主流微型计算机

四、实验原理

1、Guass 列选主元消去法 对于 AX =B

~

A B 是上三角矩阵。即： ~ ~

1）、消元过程：将（A|B）进行变换为 ( | ) ，其中 A

a ? a 1n b ? a b ? a ?? ? 1 a ??11 12 1 12 1n 1 ? ? ?? ??

? a21 a22 ? a2 nb2 ?? 0 1? a2 nb2 ??

?? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ????????

??a???? ???? n1 an 2 ? ann b n ???? 0 0 ? ann bn

k 从 1 到 n-1 a、 列选主元

k ?i?n

选取第 k 列中绝对值最大元素 max aik 作为主元。 b、 换行

akj ? aij , j ? k ? 1,?, n bk ? bi

c、 归一化

akj / akk ? akj , j ? k ? 1,?, n

bk / akk ? bk

d、 消元

aij ? aik akj ? aij , i ? k ? 1,?, n; j ? k ? 1,?, n

bi ? aik bk ? bi , i ? k ? 1,?, n

2）、回代过程：由 ( ~ A | B~) 解出 x

n , xn?1 ,?, x 1 。

bn / ann ? xn

n

bk ??? akj x j ? xk , k ? n ? 1,?,2,1

j ?k ?1 2、追赶法

线性方程组为：

?? a 1 c 1 ?? x 1 ???? f 1 ???a?? ?? f ???? b2 2 c2 ?? x2 ??? 2 ??b3 a3 c3 ?? ???? x 3 ??? f ???? ? ? ???? ????? ? ?? 3 ???????????? ??

???? ????????? ????

?b???? ??

n ?1 an ?1 cn?1 ?????

? f n?1 ??? b?? ?x n?1

n a?? ????

n xn ???

f n ????

做 LU 分解为：

?

??

????1 ? ? 1 ?1 ? ? ? ? 2 ? 2 ?? ? 1 ? ? L ? ?

? 3 ?3? ? 2 ??, R ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ???????? ? ? ? ? ???nn ?? ?

分解公式：

?????????? ??

1 ???n?1 ??1 ???

?

?

???

?? ?? ?? a (i ? 2,3,?, n) i

? i

? bi ? ? i ? (i ? 2,3,?, n) ??1 ? b1 ,? i i

?1

??ci ?? ? i ?? i ?

则

(i ? 1,2,?, n ? 1)

?Ly ? f Ax ? f? LUx ? f? ??

?Ux ? y

回代公式：

? ?f1 y 1?? ?1 ????

??y ? f i ? ? i yi ?1 i?? i ?

?xn ? yn ??

i xi ?xi ? yi ? ?

?1

(i ? 2,3,?, n)

(i ? n ? 1, n ? 2,?,1)

五、实验步骤

1、理解并掌握全选主元消去法与高斯-塞德尔迭代法公式； 2、画出全选主元消去法与高斯-塞德尔迭代法的流程图 3、使用 C 语言编写出相应的程序并调试验证通过

六、实验报告要求

1、统一使用《武汉科技大学实验报告》本书写，实验报告的内容要求有：实验目的、 实验内容、程序流程图、源程序、运行结果及实验小结六个部分。

2、源程序需打印后粘贴在实验报告册内；

3、运行结果以屏幕截图形式保存并打印后粘贴在实验报告册内。

七、实验注意事项

注意如何定义数据结构以保存矩阵和解以降低算法的复杂性。

八、思考题

若使用全主元消去法，在编程中应如何记录保存对于未知数的调换。

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