带电粒子在均匀电磁场中的运动(4)

令 a?vmEv0?vEmE?(v0?) b?E?2

WLqBWLqBB则粒子的运动方程为 x?bWLt?asinW(Lt) y?bcosW(Lt)

z?0 （28） 由此可看出 ， 带电粒子的轨迹是一条旋轮线。

???3.3.2 v0与E成任一夹角，B垂直它们构成的平面

?? 一般情况系下，为了计算方便，我们假设B沿z轴正方向，垂直于初速度v0???与E所构成的平面（xoy平面）。v0与E成任意角?，它的运动方程[9]为

??dv??????qv?B?qE?q(v?B?E) (29) mdt??????????B?Bk其中E?Exi?Eyj?Ezk，，v?vxi?vyj?vzk 其分量方程为

???dvx m?qExi?qByvi

dt???dvy?qEyj?qBxvj mdt??dvz m?qEzk (30)

dt????初始条件为t?0，x?y?z?0,初速度vx0?vx0i?vy0j?vz0k，由（30）式得

d2vxq2B2q2?2vx??2Ey （31） dt2mm令 W?qB，解微分方程 mEyB vx?c1cos(Wt)?c2sin(Wt)?将（32）式求导，得

（32）

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ax?dvx??Wc1sinWt()?Wc2cosWt() （33） dtqax0?(Ex?Bvy0)，初始条件t?0时以及当带电粒子在初始位置时，代入（32）

m式和（33）式，得

Ey?Ex? vx?( （34） ?vx0)cos(Wt)???vy0?sin(Wt)?EyB?B?B把此结果代入

dvyqdt?mEqBy?mvx，可求得 v???E?y?y?B?vx0???sin(Wt)???Ex?B?v?y0??cos(Wt)?c 利用初始条件t?0，vy?vy0??ExB?vy0?c，得 v?E?y?y???B?vx0???sin(Wt)???Ex?B?v?y0??cos(Wt)?ExB 同理可得 vqz?vz0?mEzt 整理以上各式得

vEyEyB?v?Ex?x?(x0)cos(Wt)???B?vy0??sin(Wt)?B v?E?y?y???B?vx0???sin(Wt)???Ex??B?vy0??cos(Wt)?c vz?vqz0?mEzt 用a代替

1??E?y?B?v?Wx0??，b代替1?Ex?W??B?v?y0??，将（38）式积分并整理得 x?asinWt()?bcosWt()?EyBt?x0 y??acosWt()?bsinWt()?ExBt?y0 z?vz0t?q2mEzt2?z0 15

（35） （36） （37）

38a） 38b） 38c）

39a）

39b） 39c）

（（ （ （ （ （代入初始条件，且令m?a2?b2，sin??EyBaa?b22，cos??ba?b22，可以得

x??mcos(Wt??)? y??msin(Wt??)? z?vz0?t?b （40a）

Ext?a （40b） B1q Ezt2 （40c）

2m上式即为在电磁场的一般情况下带电粒子的运动方程。

四、小结

电磁场是电磁理论中的一个重要组成部分，带电粒子在电磁场中会受到场强对它的作用力。一般时候，我们所用到的都是在一些特殊情况下带电粒子的运动方程，而实际中并不总是会出现这样的情况。所以在文中我们推导出普遍情况下带电粒子的运动方程以便更好的应用于实际。通过研究，我们得到以下结论： （1）带电粒子在电场中：①初速度与电场平行时，带电粒子做变速直线运动，初速度与电场垂直时，做类平抛运动。②初速度与电场成任一角度时，它的运动方程为x?v0tsin?，y??1qE2t?v0tcos? 2m （2）带电粒子在磁场中：①初速度与磁场平行时，磁场对带电粒子不做功。初速度与磁场垂直时，带电粒子做匀速圆周运动。②初速度与磁场成任意角度时，

v带电粒子的运动方程为x?v?sin(WLt??)?x0，y??cos(WLt??)?y0，

WLWLz?v//t?z0。它的轨迹是一条螺旋线。

（3）带电粒子在电磁场中：①带电粒子初速度，电场和磁场两两相互垂直时，它的运动方程为x?bWLt?asin(WLt)，y?bcos(WLt)，z?0。②磁场垂直初速度与电场所构成的平面，且电场与初速度成任意角度时，带电粒子的运动方程为 x??mcos(Wt??)?EyBt?b，y??msin(Wt??)?Ext?a，B 16

z?vz0?

1qEzt2。 2m 17

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